Zeige, dass n! kleinergleich 2*(n/2)^n

Question

Zeige, dass

n! ≤ 2 (n/2)^{n}

für alle n ∈ℕ.

Ich hab es schon mit Induktion versucht, jedoch fehlt mir die Abschätzung im letzen Schritt.
Gibt es eine einfachere Möglichkeit?

Comments

Ich habe zwar eine Möglichkeit gefunden, finde die aber selber nicht sehr geschickt. Ich würde mich daher auch über eine Anregung freuen.

(n + 1)! ≤ 2·((n + 1)/2)^{n + 1}

n!·(n + 1) ≤ 2·((n + 1)/2)^{n + 1}

2·(n/2)^n·(n + 1) ≤ 2·((n + 1)/2)^{n + 1}

(n/2)^n·(n + 1) ≤ ((n + 1)/2)^{n + 1}

(n/2)^n·(n + 1) ≤ ((n + 1)/2)^n · (n + 1)/2

(n/2)^n ≤ 1/2·((n + 1)/2)^n

n^n ≤ 1/2·(n + 1)^n

1 ≤ 1/2·(n + 1)^n / n^n

1 ≤ 1/2·(1 + 1/n)^n

Da nun aber gilt 2 ≤ (1 + 1/n)^n ≤ e ist der obige Term wahr.

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Handgestrickt ja. Aber recht überzeugend.