Konvergenzbeweis alternierende Reihe

Question

Versuche seit geraumer Zeit die Konvergenz folgender Reihe nachzuweisen:

$$\sum _ { n = 3 } ^ { \infty } \frac { 2 ^ { n } \sin \left( \frac { \pi n ^ { 3 } } { 2 } \right) ( ( n - 1 ) ! ) ^ { 2 } } { \sqrt { 3 n + 1 } ( 2 n ) ! }$$

Ich komme so weit, dass ich sagen kann, dass es sich um eine alternierende Reihe handelt, aufgrund des Argumentes vom Sinus.

Nach dem Satz von Leibniz muss ich dann allerdings noch zeigen, dass es sich bei der Folge der Absolutbeträge der Reihenglieder um eine monoton fallende Nullfolge handelt.

dazu schätze ich die Folge nach oben wie folgt ab:

$$\frac { ( 2 n ) ! } { \sqrt { ( 3 n + 1 ) } ( 2 n ) ! }$$

Woran ich dann einfach beweisen kann, dass es sich um eine Nullfolge handelt die monoton fallend ist.

Allerdings muss ich dazu wiederum beweisen, dass gilt:

$$2 ^ { n } ( ( n - 1 ) ! ) ^ { 2 } \leq ( 2 n ) !$$

Kann mir hierbei jemand helfen? Oder gibt es bessere/einfachere Ansätze?

Answer 1

Also letzteres müsste sich eigentlich wie folgt beweisen lassen:

2ⁿ ((n - 1)!)² ≤ (2n)!
2ⁿ (n! / n)² ≤  (2n)!
2ⁿ (n!)² / n² ≤ (2n)!   | ÷ n!
2ⁿ n! / n² ≤ (2n)! / n!
2 * 4 * ... * 2n / n² ≤ (n + 1) * (n + 2) * ... * 2n

Nun ist ja logisch, dass 2 * 4 * ... * 2n ≤ (n + 1) * (n + 2) * ... * 2n ist. Und das n², durch das auf der linken Seite geteilt wird, kann nichts daran ändern, weil dies ja stets ≥ 1 ist.

Man könnte dies nun auch noch mit einem Induktionsbeweis unterstützen. (Wahrscheinlich gilt es erst dann als ein vollständiger Beweis. Sonst könnte man ja immer sagen "ist ja logisch, dass das wahr ist". ^^) Also, Induktion. Für n = 1 stimmt es, und wenn aus n dann (n + 1) wird, entsteht (wenn man mal die vorletzte Zeile von eben nimmt):

2ⁿ⁺¹ (n + 1)! / (n + 1)² ≤ (2(n + 1))! / (n + 1)!
2ⁿ * 2 n! (n + 1) / (n² (1 + 2/n + 1/n²)) ≤ (2n + 2)! / (n! (n + 1))
2 (n + 1) / (1 + 2/n + 1/n²) * 2ⁿ n! / n² ≤ (2n)! (2n + 1) (2n + 2) / (n + 1) / n!
2 (n + 1) / (1 + 2/n + 1/n²) * 2ⁿ n! / n² ≤ (2n + 1) * 2 (2n)! / n!
(n + 1) / (1 + 2/n + 1/n²) * 2ⁿ n! / n² ≤ (2n + 1) (2n)! / n!
(n + 1) / ((1 + 2/n + 1/n²) (2n + 1)) * 2ⁿ n! / n² ≤ (2n)! / n!
(n + 1) / (2n + 4 + 2/n + 1 + 2/n + 1/n²) * 2ⁿ n! / n² ≤ (2n)! / n!
(n + 1) / (2n + 5 + 4/n + 1/n²) * 2ⁿ n! / n² ≤ (2n)! / n!

Und um jetzt noch zu beweisen, dass das eben äquivalent zu

2ⁿ n! / n² ≤ (2n)! / n!

ist (was ja das Ziel der Induktion war), muss man noch zeigen, dass links der Faktor

(n + 1) / (2n + 5 + 4/n + 1/n²)

≤ 1 ist. Also:

(n + 1) / (2n + 5 + 4/n + 1/n²) ≤ 1
n + 1 ≤ 2n + 5 + 4/n + 1/n²
n + 4 + 4/n + 1/n² ≥ 0

Stimmt. Damit ist es dann nun endlich bewiesen (wenn ich mich nirgendwo vertan habe, ist schließlich schon spät). :D

 

Comments

Puh!

Vielen Dank für die ausführliche Antwort zu so später Stunde!
 

Glaubst du gibt es noch einen effizienteren Ansatz das Beispiel zu lösen (von Anfang an), denn so dauert es schon eine Weile und hat auch großes Fehlerpotenzial!

Es handelt sich dabei nämlich um eine Prüfungsangabe für die ich bei der Prüfung nicht mehr als ~10 minZeit hätte!