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Beweise die Ungleichung: n^(n/2) ≤ n!

eventuell mit vollständiger Induktion.
Gefragt von
Kleiner / gleich n! Eventuell mit vollständiger Induktion
Ich habe das nach dem ≤ mal oben eingefügt. So ok?
Klar doch, danke!))

2 Antworten

+1 Punkt

n! ≥ n^(n/2)

Induktionsanfang n = 1

1! ≥ 1^(1/2)

Induktionsschritt n --> n + 1

(n + 1)! ≥ (n + 1)^((n + 1)/2)
n!·(n + 1) ≥ (n + 1)^(n/2 + 1/2)
n^(n/2)·(n + 1) ≥ (n + 1)^(n/2)·(n + 1)^(1/2)
n^n·(n + 1)^2 ≥ (n + 1)^(n)·(n + 1)
n^n·(n + 1) ≥ (n + 1)^n
(n + 1) ≥ ((n + 1)/n)^n
n + 1 ≥ (1 + 1/n)^n
Der rechte Term nähert sich e an. Der linke wächst aber ins unendliche.

Beantwortet von 262 k

n!·(n + 1) ≥ (n + 1)n/2 + 1/2
nn/2·(n + 1) ≥ (n + 1)n/2·(n + 1)1/2

Dieser Schritt ist mir unklar.

Laut Induktionsvoraussetzung gilt:

n! ≥ nn/2

Dann aber folgt aus:

n!·(n + 1) ≥ (n + 1)n/2 + 1/2

doch nicht zwingend, dass auch:

nn/2·(n + 1) ≥ (n + 1)n/2·(n + 1)1/2

gilt.
nn/2 kann doch so viel kleiner als n ! sein, dass nn/2·(n + 1) auch kleiner als (n + 1)n/2·(n + 1)1/2 ist ....

Ja nach Induktionsannahme gilt ja 

n! ≥ nn/2

Also darf ich doch damit abschätzen. Dann müsste aber im Folgenden ein Fehler sein, denn trotz Abschätzung nach unten ist es ja größer.

Meinst du mit „e“ die Funktion?
Nein die Zahl e ist keine Funktion. y = e^x wäre eine Funktion
Und was hast du dann mit „e“ gemeint?
Die Zahl e. Sie ist ungefähr 2.718
Ich kenne diese zwar nicht, aber z.B. für n=4: (1+1/4)^4= 2,44140625, kann es bei irgendeinem n dann aber größer als „e“ sein?
Nein. Der Term nähert sich nur im unendlichen der 2.718. Wird aber nicht größer. Daher hat man das gezeigt.

Ja nach Induktionsannahme gilt ja 

n! ≥ nn/2

Also darf ich doch damit abschätzen.

 

Aber doch nicht nach unten.

Wenn 5 > 2 ist (was ja der Fall ist) und man die Ungleichung  5 > 4 hat, dann kann man doch daraus offensichtlich nicht folgern, dass dann auch 2 > 4 ist.

Genau das aber hast du getan ...

Mathecoach, Zeile 3 zu 4, wie kannst du eine Potenz mal 2 nehmen ?
Man kann beide Seiten der Gleichung Quadrieren.

z.B. x^2 * x^2 = x^4
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Quadrieren liefert die Behauptung \(n^n\leq\left(n!\right)^2\).
Beweis der Behauptung per Induktion über \(n\).
Offenbar stimmt die Behauptung für \(n=1\) und \(n=2\).
Es gebe nun ein \(n>1\) für das die Behauptung gilt.
Zu zeigen ist, dass die Behauptung für \(n+1\) gilt.$$\text{Für alle }n\in\mathbb N\text{ gilt }(n+1)^{n+1}=(n+1)\cdot(n+1)^n.$$$$\text{Bekanntlich gilt }\left(1+\frac1n\right)^n<3\text{ für alle }n\in\mathbb N.\text{ Es folgt }\left(n+1\right)^n<3n^n.$$Nach Induktionsvoraussetzung folgt damit$$(n+1)^{n+1}<(n+1)\cdot3n^n\leq(n+1)\cdot(n+1)\cdot \left(n!\right)^2=\big((n+1)!\big)^2.$$
Beantwortet von

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