Konvergenzkriterium für Reihen zeigen

Question

Zeigen Sie folgendes Konvergenzkriterium für Reihen.

Die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} a_{n} \) mit positiven Summanden konvergiere und mit der weiteren Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \) mit ebenfalls positiven Summanden gelte

\( a_{n+1} b_{n} \geq a_{n} b_{n+1} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} \)

Dann konvergiert die Reihe \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} b_{n} \) ebenfalls.

Answer 1

Es ist \(\frac{b_{n+1}}{a_{n+1}}\leq\frac{b_n}{a_n}\) für alle \(n\in\mathbb{N}\).

Die Folge der positiven Zahlen \(b_n/a_n\) fällt also monoton.

Ist \(K=b_0/a_0\), so gilt daher \(b_n/a_n\leq K\), also \(b_n\leq K\cdot a_n\).

\(\sum a_n\) konvergiert. Daher ist \(K\cdot\sum a_n=\sum K\cdot a_n\) eine

konvergente Majorante für \(\sum b_n\). Folglich konvergiert \(\sum b_n\).

Comments

Du scheinst solche Aufgaben zu lieben, ermane.

Ich hasse sie wegen ihrer Abstraktheit.

Ich verstehe nicht, wozu sie gut sein sollen bzw. wo sie ein Rolle spielen.