Aufgabe (Vandermonde'sche Determinanten):
Zu \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n+1} \in K \) sei
\( A=\left(a_{i j}\right) \in K^{(n+1) \times(n+1)} \quad \text { mit } a_{i j}:=\lambda_{i}^{j-1} \)
(die erste Spalte besteht aus Einsen, die zweite aus den \( \lambda_{i} \), die dritte aus deren Quadraten usw.).
Zeigen Sie:
\( \operatorname{det} A=\prod \limits_{i<j}\left(\lambda_{j}-\lambda_{i}\right) \)
Anleitung. Erster Schritt: Subtrahieren Sie in der Reihenfolge \( j=n, n-1, \ldots, 1 \) die \( \lambda_{1} \)-fache \( j \)-te Spalte von der \( (j+1) \)-ten Spalte, wenden Sie dann Aufgabe 30 an, und ziehen Sie für jede Zeile von \( B \) einen Faktor aus \( \operatorname{det} B \) heraus.
