Berechnung mit der Vandemondschen Determinanten

Question

Aufgabe (Vandermonde'sche Determinanten):

Zu $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{n+1} \in K$ sei

$A=\left(a_{i j}\right) \in K^{(n+1) \times(n+1)} \quad \text { mit } a_{i j}:=\lambda_{i}^{j-1}$

(die erste Spalte besteht aus Einsen, die zweite aus den $\lambda_{i}$, die dritte aus deren Quadraten usw.).

Zeigen Sie:

$\operatorname{det} A=\prod \limits_{i<j}\left(\lambda_{j}-\lambda_{i}\right)$

Anleitung. Erster Schritt: Subtrahieren Sie in der Reihenfolge $j=n, n-1, \ldots, 1$ die $\lambda_{1}$-fache $j$-te Spalte von der $(j+1)$-ten Spalte, wenden Sie dann Aufgabe 30 an, und ziehen Sie für jede Zeile von $B$ einen Faktor aus $\operatorname{det} B$ heraus.

Comments

Ein gut gemeinter Rat: Besorg dir die Mitschrift von einem Kommilitonen.

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Die schreiben die Aufgaben für gewöhnlich gar nicht erst mit ab und verstehen sie meist auch nicht, dann ist es ihnen auch noch unangenehm im Tutorium nachzufragen. Hier kann ich somit sogar nachfragen wenn ich die Lösung nicht nachvollziehen kann. Es hat schon seinen Grund, warum ich hier frage :)

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Hast du denn selbst schon mal versucht nach der Anleitung vorzugehen? Es ist eher unwahrscheinlich, dass man dir hier eine (aufwändig zu notierende) Lösung nach dieser Anleitung hinschreiben wird. Vor allem da nicht klar ist was Aufgabe 30 sein soll.

Ansonsten findet man über google auch andere Lösungen (Induktion und Laplace-Entwicklungssatz). Ist zwar jetzt kein wertvoller Kommentar allerdings wollte ich nur drauf verweisen, wie aufwändig das ganze wäre. Vielleicht hast du aber Glück und es findet sich jemand. 

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Danke, hätte den Teil fast vergessen!

AUFGABE 30 Folgern Sie aus Satz 5.1:
$\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ v & B \end{array}\right)=\operatorname{det} B, \text { wobei } v \in K^{n}, B \in K^{n \times n} \text { (die } 0 \text { ist eine Nullzeile). }$
Dies ist ein Spezialfall einer Regel für "Blockdeterminanten", die hier natürlich nicht schon benutzt werden soll.

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Ich denke ich bin im selben Kurs, Aufgabe 1.1 gleich und weiß, warum er/sie hier fragt. Man versteht einfach nichts bei diesem Mann, DAS ist das Problem...

Answer 1

Siehe hier

http://wwwopt.mathematik.tu-darmstadt.de/~bokowski/pdf/determinante.…

determinante.pdf (0,2 MB)