Ungeordnet Ziehen ohne Zurücklegen: Man darf max 3 mal würfeln um zu (1,1,2,5,6) zu kommen.

Question

für eure Hilfe bei folgendem Problem wäre ich sehr dankbar :)

 

Man darf mit fünf Würfeln bis zu drei Mal würfeln. Dabei sind Zahlen vorgegeben, die gewürfelt werden müssen. Beispielweise muss die Kombination 1,1,2,5,6 erwürfelt werden, wobei die Reihenfolge unwichtig ist. Sobald man mit einem Würfel eine dieser Zahlen erwürfelt hat, nimmt man ihn heraus und würfelt mit den übrigen weiter. Die Wahrscheinlichkeit für die vorgegebenen Zahlen soll nun berechnet werden.

Grundsätzlich habe ich bereits eine Lösung. Beim ersten Wurf würde ich mit Hilfe der Multinomialverteilung die Wahrscheinlichkeit der gesuchten Zahlen berechnen. Mein n wäre also n=5, k1=2, k2=1, k3,4=0, k5=1 und k6=1. Die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl ist 1/6. In die Formel eingesetzt ergibt es also [(5!)/(2!*1!*1!*1!)]* (1/6)^2*(1/6)^1*(1/6)^1*(1/6)^1. Nun kann es aber auch dazu kommen, dass nur eine der Zahlen gewürfelt wird. Dann würde beim nächsten Wurf mein n nur noch 3,2 oder 1 betragen. Und hier ist mein Problem. Wie kann ich diese mögliche Veränderung in meine Berechnung einbringen? Für eine kleine Hilfe an dieser Stelle, wär ich sehr dankbar, vielleicht ist die Antwort auch zu offensichtlich :P

Answer 1

Vielleicht nützt dir ein anderer Lösungsweg etwas:

Ich würde hier günstige durch mögliche Ausfälle dividieren.

Mögliche Ausfälle sind auf jeden Fall 6^5

Günstige würde ich ausführlich folgendermassen berechnen:

(2 von 5 Plätzen wählen für die 1) mal 1. (1 von 3 Plätzen wählen für die 2) mal 1. (1 von 2 Plätzen wählen für die 5) mal 1. (1 von 1 Platz wählen für die 6) mal 1.

(5 tief 2)*1 *(3 tief 1)*1 * (2 tief 1 ) * 1 * (1 tief 1 ) * 1

                |vereinfachen

= 5!/(3!*2!)  * 3 * 2 = 5!/ 2 = 60

P(1,1,2,5,6) = 60 / 6^5 = 10 / 6^4 

Das Problem mit folgenden Würfen ist hier nicht gelöst. Ob der Rechenweg etwas bringt, kann ich nicht abschätzen. Deshalb sollte das jetzt eher ein Kommentar als eine Antwort sein. Sorry.

Ich wüsste im Moment auch nichts Besseres als einen Wahrscheinlichkeitsbaum durchzurechnen. Mit allen Fällen:

Verästelung ist zu Beginn schon: Beim 1. Wurf alle richtig. Beim nur ersten Wurf eine 1 richtig. Beim 1. Wurf nur eine andere Zahl richtig. Beim 1. Wurf  nur 1 Einsen richtig. Beim 1. Wurf eine 1 und eine andere Zahl richtig… Beim 1. Wurf alles falsch. Und dann an jedem Ast noch eine Verzweigung zu für den nächsten Wurf.

Du musst danach nur noch die Wahrscheinlichkeit der Blätter bei denen die Geschichte aufgeht.