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z.B. haben wir eine Normalverteilung, x sei Stücke, P(x<5)=30% und  dann haben wir einen Dichtenwert beim x=5. Kann und der Wert etwas vermitteln oder ist die Dichte nur ein Instrumentarium, um Wahrscheinlichkeiten zu finden bzw. darzustellen und trägt als ein Wert gar keine Information?
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Nunja, die Dichte trägt schon eine Information, nämlich eben über die Wahrscheinlichkeit gewisser Ereignisse.

 

Wahrscheinlichkeitsdichten werden notwendig, wenn die Zufallsvariable keine diskreten Werte annimmt (das tut sie zum Beispiel beim Würfelwurf) sondern kontinuierliche Werte (das tut sie zum Beispiel wenn man eine Nadel fallen lässt und den Abstand zu einem gewissen Punkt bestimmt).

Ich denke, die Unterscheidung ist relativ einleuchtend.

 

Bei einer diskreten Zufallsvariablen lässt sich jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnen: so wird beim einmaligen Würfelwurf jedem möglichen Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1/6 zugeordnet.

Bei einer kontinuierlichen Zufallsvariablen ist das nicht so leicht, denn es existieren ja unendlich viele mögliche Ereignisse.
Kommen wir z.B. zurück zum Nadelfall: schränken wir das Experiment mal ein bisschen ein, sagen wir, die Nadel kann sich auf einer eindimensionalen Strecke bewegen und jeweils nur maximal fünf Zentimeter von der Stelle entfernen, an der man sie loslässt.
Identifiziert man diese Loslassstelle mit dem Nullpunkt, so kann die Zufallsvariable Werte aus dem Intervall [-5, 5] annehmen.

Nun ist es relativ offensichtlich, dass es wahrscheinlicher ist, dass die Nadel in der Nähe des Nullpunkts liegen bleibt als weiter entfernt.
Da die Ergebnismenge von unendlicher Mächtigkeit ist (die Rellen Zahlen sind dicht) existieren unendlich viele mögliche Ereignisse, man kann also nicht jedem Ereignis eine Wahrscheinlichkeit zuordnen. (Tatsächlich hat jedes exakte Ereignis eine unendliche kleine Wahrscheinlichkeit.)
Stattdessen führt man die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x) ein, die angibt, wie wahrscheinlich es ist, dass die Nadel in einem gewissen Bereich der Größe dx um x landet. Die Wahrscheinlichkeit für einen unendlich kleinen Bereich beträgt dann

p(x, dx) = ρ(x)dx

und um die Wahrscheinlichkeit für einen endlich großen Bereich zu berechnen, integriert man also die Wahrscheinlichkeitsdichte über den gewünschten Bereich.

Da die am häufigsten genutzte Wahrscheinlichkeitsdichte (nämlich die der Normalverteilung) keine elementare Stammfunktion besitzt, kann man dieses Integral aber nur numerisch berechnen. Man muss es deshalb in einem Tafelwerk nachschlagen.

von 10 k

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