Zeige, dass (a_{n}) konvergiert. Konvergenz einer allgemeinen Folge

Question

Es sei \( \left(a_{n}\right) \subset \mathbb{R} \) eine Folge und \( 0<\alpha<1 \) derart, dass

\( \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leq \alpha \cdot\left|a_{n}-a_{n-1}\right| \)

für alle \( n \geq 2 \). Zeige, dass \( \left(a_{n}\right) \) konvergiert.

Ansatz/Problem:

Ich weiß zwar, dass ich die Abschätzung angeben habe, aber habe keinen Ansatz wie ich weiter fahren soll. Ein baldiger Ansatz wäre freundlich. Ich weiß, dass man für die Konvergenz Monotonie sowie Beschränktheit bestimmen soll.

Answer 1

$$|a_{n+1}-a_{n}| \leq a |a_{n}-a_{n-1}| \leq a^2|a_{n-1}-a_{n-2}| \leq \dots \leq a^{ n } |a_{1}-a_{0}|$$

Da 0<a<1, haben wir dass $$a^n \overset{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} 0$$

Das heisst $$\forall \epsilon'>0 \exists n_0 \in \mathbb{N}:|a^n|<\epsilon' \Rightarrow a^n <\epsilon'$$

Also haben wir dass $$|a_{n+1}-a_{n}| <\epsilon' |a_{1}-a_{0}|<\epsilon$$ für $$\epsilon'=\frac{\epsilon}{|a_{1}-a_{0}|}$$