Stochastik Oberstufe 12: Kombinatorik

Question

allo. Ich bin mir bei meinem Ergebnis nicht sicher:

Aufgabe: Angenommen, die acht Läufer 1,b,...,G,H sind alle gleich gut, dh der Sieg hängt vom Zufall ab. Sie kämpfen um drei Medaillen (Gold,Silber,Bronze).

a.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Läufer A,B,C in dieser Reihenfolge die Gold-,die Silber- und die Bronzemedaille erhalten?

Gold-,Silber- Bronzemedaille der Läufer A,B,C: 1/8 * 1/8 * 1/8 = 1/512

b.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einem Tipp über die drei Erstplatzierten zwar die richtigen drei besten Läufer nennt, aber in der falschen Reihenfolge?

Hier bin ich mir unsicher.

Comments

oder ne:

zu a.): P(E_Gold)=1/8

P(E_Silber)=1/7

P(E_Bronze)=1/6

zu b.): P(E)=1/8 * 1/8 * 1/8 = 1/512 

Answer 1

a.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Läufer A,B,C in dieser Reihenfolge die Gold-,die Silber- und die Bronzemedaille erhalten?

Gesuchte Wahrscheinlichkeit:

1/8 *1/7 * 1/6 = 1/336

b.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man bei einem Tipp über die drei Erstplatzierten zwar die richtigen drei besten Läufer nennt, aber in der falschen Reihenfolge?

Wieviele Möglichkeiten gibt es, 3 Sieger aus 8 Läufern auszuwählen? Binomialkoeffizient:

(8 über 3) = 8! / (3! * (8 - 3)!) = 8! / (3! * 5!) = 56.

Also W. = 1/56

Davon liefert aber nur eine die exakte Reihenfolge der 3 Erstplatzierten.

Deshalb ist die hier gesuchte Wahrscheinlichkeit

1/56 - 1/336 = 6/336 - 1/336 = 5/336

Besten Gruß

Comments

Danke für deine Antwort!

Aber wie kommst du bei der b.) auf den Binomialkoeffizienten (8 über 3)?

Was sagt der Binomialkoeffizienten und woher weiß man wann man den Binomialkoeffizienten benutzen soll?

Und wie bist du auf 1/56 - 1/336 gekommen?

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Gern geschehen :-)

Der Binomialkoeffizient, allgemein

(n über k)

gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Gesamtheit von n Elementen k Elemente auszuwählen.

Vielleicht das bekannteste Beispiel ist Lotto 6 aus 49:

(49 über 6) = 49! / (6! * (49 - 6)! = 49! / (6! * 43!) = 13.983.816

Es gibt also 13.983.816 Möglichkeiten, 6 aus insgesamt 49 Zahlen zu ziehen.

Deshalb beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen 6er zu haben, auch grandiose 1/13.983.816

In dieser Aufgabe lieferte uns der Binomialkoeffizient den Wert

(8 über 3) = 8! / (3! * (8 - 3)!) = 8! / (3! * 5!) = 56

Es gibt also 56 Möglichkeiten, 3 Läufer aus 8 Läufern auszuwählen.

Haben wir also die 3 Läufer A, B und C für die ersten 3 Plätze ausgewählt, gibt es aber innerhalb dieser 3 Läufer immer noch 6 mögliche Reihenfolgen:

ABC

ACB

BAC

BCA

CAB

CBA

Nur ABC ist richtig, die anderen 5 Reihenfolgen sind falsch.

Also liefern 5/6 von 1/56 zwar die drei richtigen Sieger, aber in der falschen (internen) Reihenfolge!

5/6 * 1/56 = 5/336

Etwas deutlicher?

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Ah ok danke!

Ein bisschen schwer zu verstehen, aber ich hoffe das kommt nicht bei der Klausur dran. :O

Ah ja, warum kann man diese Antwort nicht als die Beste markieren, sondern nur ein Pluspunkt geben? :)

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Kannst du mir auch hier helfen? :)

https://www.mathelounge.de/189838/stochastik-erwartungswert-binomialverteilung-ausrechnen

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warum kann man diese Antwort nicht als die Beste markieren, sondern nur ein Pluspunkt geben?

Keine Ahnung, ist aber nicht so wichtig :-D

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Kannst du mir auch hier helfen? :)

https://www.mathelounge.de/189838/stochastik-erwartungswert-binomialverteilung-ausrechnen

Na klar, schau ich mir gleich an :-D