hier erstmal meine Aufgabe:
Seien X und Y diskrete Zufallsvariablen mit Erwartungswert 0, Varianz 1 und Kovarainz \(\rho \).
Zeigen Sie, dass
$$ E\left(\max\left\{ X^2, Y^2\right\} \right)\le 1 +\sqrt { 1 - { \rho }^{ 2 } }.$$
Hinweis: Es gilt für alle reellen Zahlen $$ u,v \ge 0: \quad \max\left\{ u, v \right\} =\frac { 1 }{ 2 } (u+v)+\frac { 1 }{ 2 } |u-v| $$ Und das habe ich mir bisher dazu überlegt:
Man weiß, dass \(E(X)=0\) und \(E(Y)=0\), also gilt \(Cov(X,Y)=E(XY)\) und \(Var(X)= E({ X }^{ 2 })-{ E(X) }^{ 2 }=E({ X }^{ 2 })\) und auch \(Var(Y)\quad =E({ Y }^{ 2 })\).
So jetzt verwende ich den gegebenen Hinweis:
$$\max\left\{ X^2,Y^2 \right\} =\frac { 1 }{ 2 } ({ X }^{ 2 }+{ Y }^{ 2 })+\frac { 1 }{ 2 } |{ X }^{ 2 }-{ Y }^{ 2 }|$$ $$\implies E(\max\left\{ X^2,Y^2 \right\} )=1+\frac { 1 }{ 2 } E(|{ X }^{ 2 }-{ Y }^{ 2 }|)$$
Also bleibt noch zu zeigen:
$$\frac { 1 }{ 2 } E(|{ X }^{ 2 }-{ Y }^{ 2 }|)\le \sqrt { 1-\rho ^{ 2 } } = \sqrt { 1- E(XY)^{ 2 } } $$,
aber das bekomme ich leider nicht hin, habe schon die Ungleichung quadriert, damit die Wurzel weg ist und dann alle möglichen Umformungen ausprobiert, aber es kam nie was vernünftiges dabei raus :(
Ist mein Ansatz vielleicht schon falsch? Oder kann mir jemand sagen, wie man diese Ungleichung lösen kann?
Vielen Dank schonmal für jede Antwort :)
