lineare Abbildungen über einen Vektorraum

Question

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ich hab eine Aufgabe gemacht und wollt wissen ob ich sie richtig gemacht hab.... wenn nicht dann hoffe ich könnt ihr mir Tipps oder die Lösung sagen.

Aufgabe: Es sei ( V ,⊕, *) mit V = ℝ⁺ und x ⊕ y = x*y bzw. x*y = y^x Der Vektorraum

a) Zeige, das die Abbildung f: ℝ → V mit f(x) = 2^x linear ist.

b) Gib die Mengen aller linearen Abbildungen von ℝ nach V an.

zu a )  (L1) f( a+b) = f(a) + f(b) mit a, b ∈ ℝ

dann gilt f(a+b) = (2^a +2^b ) = (2^a ) + ( 2^b ) = f(a)+ (fb)

(L2) f( c* a) = c * f(a)    a ∈ ℝ

f(c*a) = (c* 2^a ) = c*(2^a ) = c* f(a)  --> somit ist f(x) = 2^x eine lineare Abbildung

zu b) wie man bei a) sieht hast die Basis keine Auswirkungen auf die Linearität , daher gilt für die Menge der linearen Abbildungen von ℝ → V die Menge  Mℝ→_V  = { y₁^x1 , ..., y_m^xn ; n ∈ ℝ }

Comments

\( f(a+b)=2^{a+b} \) und es ist zu zeigen, dass \( f(a+b)=f(a) \oplus f(b) \) weiter \( f(c*a)=2^{c*a} \) b) Keine Ahnung was du damit ausdrücken willst.

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(L1) f( a+b) = f(a) + f(b) mit a, b ∈ ℝ

dann gilt f(a+b) =   STIMMT SO NICHT

2^a+b  = (2^a ) * ( 2^b ) =  f(a) ⊕ (fb) nach eurer Definition !

(L2) f( c* a) = c * f(a)    a ∈ ℝ

f(c*a) =  2^c*a = (2^a )^c  wegen Potenzgesetz in IR

= c* f(a)  wegen eurer merkwürdigen Def. von *

--> somit ist f(x) = 2^x eine lineare Abbildung. Das stimmt.

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@mathef  was stimmt so nicht??

ja des * sollte der kreis mit dem punkt sein aber denn gibt's hier nicht also hab ich die normale Multiplikation genommen.

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Den "Kreis mit dem Punkt" gibt es durchaus: \(\odot\)

Answer 1

dann gilt f(a+b) = (2^a +2^b ) = (2^a ) + ( 2^b ) = f(a)+ (fb)

es stimmt nicht, dass f(a+b) = (2^a +2^b )

sondern es ist f(a+b) = 2^a+b =  und dann wäre ja wohl erst mal Hinweis auf Potenzgesetz

       = (2^a *2^b ) angebracht.     Das Ergebnis : Linearität vorhanden stimmt natürlich schon, ich hielt nur die Argumentation für unsauber.

Comments

Ist es hier üblich Kommentare Anderer als eigene Antwort auszugeben?

"ich hielt nur die Argumentation für unsauber."

Die Argumentation ist völlig falsc h und nicht nur unsauber.

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ahso ok das hab ich jetzt verstanden..

und was kannst du mir zu meiner b ) sagen??

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b) Gib die Mengen aller linearen Abbildungen von ℝ nach V an.

wenn f(a+b) = f(a)  ⊕  f(b) ist, dann heißt das ja in der üblichen Schreibweise

f(a+b) = f(a)  *  f(b)also muss z.B.    f (1+1) = f(1) * f(1)
   also   f(2) = f(1)^2 und entsprechend f(3) = f (1)^3 etc.
also ist das immer so, das f(x) = f(1)^x ist.
also hängt es letztlich nur von f(1) ab.  wenn das z.B. Null ist,
hast du die Abbildung, die alles auf 0 von V abbildet, für
f(1)=1  die identische Abbildung und alle anderen haben irgendein
a aus IR+  mit  f(x) = a^x

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"also ist das immer so, das f(x) = f(1)^x ist."

und wie willst du das aus der oberen Argumentation für nicht- rationale x folgern?

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für f(1)=1  die identische Abbildung
solltest du noch mal drüber nachdenken

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ok, nehm ich zurück.

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gabs da nicht sowas wie:
Jede lin. Abb ist stetig.

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also ist mein Ansatz falsch.

denn dann hängt es von a ab

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okay jetzt bin ich verwirrt :)

ne da gabs nichts mit das jede lin.Abb stetig ist

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"gabs da nicht sowas wie:
Jede lin. Abb ist stetig."
Das ist hier nicht Funktialanalysis. und selbst da muss die lineare Abb noch beschränkt sein.
Ein Vektorraum hat a priori keine Topologie, daher kann man noch nicht mal von Stetigkeit sprechen.
@Fragensteller: Hab ihr schon den Begriff Dimension eingeführt?

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ja Dimension hatten wir ein wenig aber noch nicht so richtig

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Was man bei der b) machen könnte ist folgendes:
Zeige, dass die Dimension von V 1 ist. (z.B. indem man zeigt, dass a) ein isomorphismus ist).
Damit kann man zeigen, dass die Dimension von \( L(\mathbb R,V) \) (die gesuchte Menge/Vektorraum) auch 1 ist und daher alle linearen Abbildungen Vielfache (im \( \otimes \) Sinne) von f sind.

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es hört sich sehr logisch an, aber des zu zeigen des schaff ich nicht.. also probiere ich irgendwas anderes

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Zeige, dass die Dimension von V 1 ist.
Wird schwer werden, wenn man K nicht kennt.

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O.k. ja und hast du einen anderen Vorschlag wie man das angehen kann?
@über mir: Du darfst gern \(K=\mathbb Q(\pi) \) nehmen.

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ne ein anderen Ansatz hab ich nicht aber ist der Ansatz wo am anfang mathef geschrieben hat falsch?

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Wie ich oben schrieb:

""also ist das immer so, das f(x) = f(1)^x ist."

und wie willst du das aus der oberen Argumentation für nicht- rationale x folgern?"
ich wüßte nicht wie man das so zeigen kann, und scheinbar mathef auch nicht.

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aso okay schade ...

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ich wüßte nicht wie man das so zeigen kann
Wie wäre es mit  f(x) = f(x·1) = x•f(1) = (f(1))^x

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Na das ist doch eine prima Idee.

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Man könnte ganz einfach die Definition von Linearität nutzen.

[okay, wurde schon getan]

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ja ist echt eine gute Idee :)