0 Daumen
163 Aufrufe

Sei K ein Körper, seien V1, V2, V3 K-Vektorräume und seien f : V1 → V2 sowie g : V2 → V3 lineare Abbildungen.

Zeigen Sie:

a) rk(g◦ f) = rk(f)−dim(Bild(f)∩ker(g)),

b) rk(g◦f)≤min{rk(f),rk(g)}.

von

1 Antwort

+1 Punkt

Sei g* die Einschränkung von g auf Bild(f).

dann gilt nach dem Dimensionssatz:

dim(Bild(f)) = dim(g*(Bild(f)) + dim(Kern(g*))

und es ist Kern(g*) = Bild(f) ∩  Kern(g), also

dim(Bild(f)) = dim(g*(Bild(f)) + dim(Bild(f) ∩  Kern(g)) #

Außerdem ist g(Bild(f)=  Bild(fog*) = Bild(fog)

also dim(g*(Bild(f)) = rk(fog) .

Damit wird # zu

dim(Bild(f)) = rk(fog) + dim(Bild(f) ∩  Kern(g))

und wegen dim(Bild(f)) = rk(f) ist damit alles gezeigt.

b) Sei v1,v2,...,vn eine Basis von V1.

(Es geht ja wohl um endlich dimensionale VR'e.)

Diese wird durch f abgebildet auf

f(v1),f(v2),...,f(vn) .

Davon sind genau rk(f) Vektoren lin. unabhängig;

denn sie liegen alle in Bild(f) und das ist ein VR

der Dimension rk(f).

Diese werden nun durch g abgebildet auf g(f(v1)),g(f(v2)),...,g(f(vn)).

Davon sind höchstens rk(f) lin. unabhängig, da es die Bilder von

rk(f) lin. unabhängigen Vektoren sind.

Diese Bilder liegen aber in g(V2) und das hat die Dimension rk(g),

also können höchstens  rk(g) davon lin unabh. sein.

Also gibt es in Bild(gof) einerseits höchstens rk(f)

andererseits höchstens rk(g) lin. unabhängige Vektoren,

also ist die Dimension ≤min{rk(f),rk(g)}.

von 168 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...