Konstante Elastizität. Wie geht die Umformung von von d(log(y))/dx auf y'(x)/y(x)?

Question

Wie kommt man bei der unteren Umformung von d(log(y))/dx auf y'(x)/y(x)

Bemerkung 6.5

In der Gleichung

\( \log (y)=f(x)=\alpha+\beta) \cdot \log (x) \)

hängt \( \log (y) \) in Form einer linearen Funktion von \( \log (x) \mathrm{ab} \), so dass sich in diesem LOG-LOG-Modell mit der erklärten Variable \( y \) in logarithmierter Skalierung und der erklärenden Variable \( x \) in logarithmischer Skalierung - gemäss den Umformungen (10) und (11) - die folgende Interpretation des Parameters \( \beta \) als konstante Elastizität

\( \frac{d(\log (y))}{d x}=\frac{y^{\prime}(x)}{y(x)}=\beta \cdot \frac{1}{x} \Longrightarrow \varepsilon_{y, x}(x)=y^{\prime}(x) \cdot \frac{x}{y(x)}=\beta \)

ergibt: Wenn sich \( x \) um ein Prozent erhöht, so ändert sich \( y \) um näherungsweise \( \beta \% \).

Beispiel 6.6

In der Konsumgleichung \( \log (Kons) =0.2639+0.8982 \cdot \log (Eink) \) bezeichnen \( Kons \) den realen Konsum pro Kopf und \( Eink \) das reale Einkommen pro Kopf. Der Parameter \( 0.8982 \) besagt somit im Sinne einer (konstanten) Elastizität, dass der Konsum in Folge einer Erhöhung des Einkommes um \( 1 \% \) um approximativ \( 0.8982 \% \) ansteigt.

Das d sagt ja aus, dass man das log y ableiten muss aber wie kommt man eben auf y'(x)/Y(X) und vor allem was bedeutet es, wenn man y'(x)/y(x) macht?

d(log(y))/dx bedeutet ja glaub ich so viel wie: um wie viel % ändert sich y wenn ich x um 1 erhöhe (in diesem Fall um Prozent)

Bemerkung: Es geht hier um das LOG-LOG Modell.

Answer 1

Wie kommt man bei der unteren Umformung von d(log(y))/dx auf y'(x)/y(x)

Das y ist ja eine Funktion von x, du könntest also
ausführlich y(x) schreiben.  Dann wird d(log(y))/dx
zu   d(log(y(x)))/dx
und d ..... / dx bedeutet ja, dass du nach x ableitest.
mancher würde das einfach mit nem Strich kennzeichen:
log(y(x)) ' = ?
und jetzt weisst du wohl  ln(x) ' = 1 / x
aber weil bei ln ja die Funktion y(x) eingesetzt ist,
musst du die Kettenregel anwenden, also
log(y(x)) ' =  ( 1 / y(x) )   *  y ' (x) oder kurz   y'(x)/y(x)