Epsilon-Delta-Stetig 1/x2

Question

ich möchte zeigen dass die Funktion:$$f(x)= \frac{1}{x^2}$$ mit x∈ ℝ\{0} stetig ist.

Dies möchte ich mit Hilfe des Epsilon-Delta Kriteriums machen.

Ich fange also an:

|x-x_o|<δ  ⇒ |f(x)-f(x_o)|<ε

$$\left| f(x)-f({ x }_{ o } \right| =\left| \frac { 1 }{ x^ 2 } -\frac { 1 }{ { x }_{ o }^ 2 } \right| =$$

$$= \left| \frac { { x }_{ o }^ 2 }{ (x)^ 2*{ x }_{ o }^ 2 } -\frac { x^ 2 }{ { (x) }_{ o }^ 2*x^ 2 } \right| =\frac { \left| { x }_{ o }^ 2-x^ 2 \right| }{ \left| { (x) }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| }$$

$$= \frac { \left| ({ x }_{ o }+x)*({ x }_{ o }-x) \right| }{ \left| { x }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| } = \frac { \left| ({ x }_{ o }+x) \right| *\left| ({ x }_{ o }-x) \right| }{ \left| { x }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| }= \frac { \left| ({ x }_{ o }+x)*\delta \right| }{ \left| { (x) }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| }$$

$$< \delta *\frac { \left| ({ x }_{ o }+x) \right| }{ \left| { (x) }_{ o }^ 2*x^ 2 \right| } < \delta * \left| ({ x }_{ o }+x) \right| < \delta * \left| ({ x }_{ o }) \right| + \left| {x}\right|<\varepsilon$$

Sop jetzt weiß ich leider nicht mehr weiter wie ich weiter abschätzen kann damit das x verschwindet,damit ich das nach Delta umstellen kann.

Könnte mir jemand da einen Rat geben?

,
Marvin

Answer 1

mit dem
delta*betrag(xo+x)
 bist du doch schon recht weit.
Denn für x nahe bei xo ist ja der Betrag von xo+x
sicherlich kleiner als 2*betrag(xo).
also machst bdu weiter mit
delta * 2*|xo| kleiner epsilon
und wählst
delta = epsilon / (2*|xo| )  Bingo!

Mit dem Abschätzen des Nenners im vorletzten Schritt wäre
ich allerdings etwas vorsichtiger. Vielleicht geht da sowas Ähnliches
wie ich es vorschlug.

Comments

Wieso kann ich einfach sagen, dass der Betrag (xo)+x kleiner ist als der Betrag von 2(xo) ?

x kann doch alle Werte aus dem Definitionsbereich annehmen, also ganz R\0 . Während xo jeweils immer ein beliebiger ,aber fest gewählter Wert ist?

Und beim Abschätzen im Nenner können x und xo auch kleiner als 1 sein, da hab ich gar nicht dran gedacht,danke.

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Wieso kann ich einfach sagen, dass der Betrag (xo)+x kleiner ist als der Betrag von 2(xo) ?

x kann doch alle Werte aus dem Definitionsbereich annehmen, also ganz R\0 . Während xo jeweils immer ein beliebiger ,aber fest gewählter Wert ist?

Im Prinzip kann das x alle Werte aus dem Definitionsbereich annehmen, also ganz R\0

aber bei der eps-delta Definition geht es doch immer los mit

|x-x0|<delta und so ein delta muss man finden.

Dann kansst du ja erst mal sagen: Ich gehe davon aus, dass delta kleiner als |xo| ist, dann ist jedenfalls

|x-xo|<2*|xo| und unter dieser Voraussetzung fängst du an zu rechnen und

sagst dann am Schluss:

wähle also delta kleiner als das Minimum von |x0| und (z.B.)   eps/(2*|x0|) oder so.

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also bleibt alles gleich, nur dann noch der Nenner oder wie schreibt man das damit auf?