Bruch abschätzen zu einer Ungleichung. 1/10 * (6+n)/(5+n) ≤ 3/25

Question

\( \frac{1}{10} \cdot \frac{6+n}{5+n} \leq \frac{3}{25} \)

Kann mir jemand sagen wie ich mathematisch auf diesen Schritt komme?

Es ist mir klar, also für n=0 ist es 3/25 und danach wird es kleiner, aber wie zeige ich das rechnerisch?

Answer 1

6/50 = 3/25

1/10 * 6/5 = 3/25

1/10 * (6+n)/(5+n) ≤ 3/25

Grund 

0 ≤ n    | + 30 + 5n

30 + 5n ≤ 30 + 6n

5(6+n) ≤ 6(5+n)

(6+n)/(5+n) ≤ 6/5 , falls n≥0.

Answer 2

ich vermute, dass n eine natürliche Zahl ist.

Damit ist (5 + n) positiv, und wir können auf beiden Seiten mit (5 + n) multiplizieren, ohne dass sich ≤ umdreht: 

1/10 * (6 + n) ≤ 3/25 * (5 + n) | ausmultiplizieren

6/10 + n/10 ≤ 15/25 + 3n/25 | - 15/25 - n/10

6/10 - 15/25 ≤ 3n/25 - n/10 | * 10

6 - 150/25 ≤ 30n/25 - n | * 25

150 - 150 ≤ 30n - 25n

0 ≤ 5n 

Liest man dies von unten nach oben, sollte es wohl als Beweis gelten :-)

Besten Gruß

Answer 3

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danach wird es kleiner, aber wie zeige ich das rechnerisch?

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zB : Beweis mit vollständiger Induktion

-> (Beh: Für alle n aus N ist die Folge streng monoton fallend)

oder so:   (n+6)/(n+5) = 1 + 1/(n+5)

und ->: wenn das n im Nenner grösser wird , dann wird der

Wert des Bruches (..der da zu 1 addiert wird..)  immer kleiner  .. siehe !

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