Abschätzen von Logarithmus: ln ((m+n) über m) ≤ m *ln((m+n)/m)+m zeigen

Question

ich soll zeigen, dass:

ln ((m+n) über m) ≤ m *ln((m+n)/m)+m gilt. Für m,n aus ℕ und m ungleich 0.

Leider weiß ich nicht, wie ich des wirklich umschreiben beziehungsweise beweisen soll.

Bisher hab ich:

ln ((m+n) über m)= ln((m+n)!/(n!*m!))=ln((m+n+1)!/m!) =ln((2m+n+1)!

Aber wir mache ich weiter?

Comments

Das ist doch eine andere Frage

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Hallo Sonnenblume,

Deine Frage ist die gleiche wie diese hier: ?

Jetzt ist die andere Frage verschwunden? Damit ist Deine Frage die einzige!

Gruß Werner

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Ah - ich sehe gerade: Du hast zuerst gefragt! Die andere Frage ist das Duplikat

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Hallo Sonnenblume,

ich melde mal Deinen Kommentar, damit ein Redakteur den Löscheintrag wieder rückgängig machen kann.

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Bin grad abgelenkt und hab nur mit einem halben Augenpaar hingeschaut, aber abgesehen davon, das das Vorzeichen verdreht sein mag, sieht die Frage genau gleich aus.

In beiden Fällen ist sonnenblume der Fragesteller?!

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@Unknow: Die Frage ist unterschiedlich. Und sie ist schwieriger. Ich denke gerade drüber nach. Die Ungleichung vor 2 Tagen war:

$$m \cdot \ln{\left( \frac{m+n}{m}\right)} - m \le \ln {\binom{m+n}{m}}$$ und die obige ist

$$\ln {\binom{m+n}{m}} ≤ m\cdot \ln\left(\frac{m+n}{m}\right)+m$$ es ist also auch das \(\le\)-Zeichen anders herum.

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Merci. Viel Spaß beim Tüfteln :).

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Hier der (auch für mich lesbare) \(TeX\)-Code:

$$\text{Zeige, dass für } m,n\in\mathbb{N}\text{ und }m\ne 0\text{ gilt:}\\ \ln \begin{pmatrix} m+n\\m \end{pmatrix} \le m \cdot\ln\left(\dfrac{m+n}{m}\right)+m$$

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Tipp:
$$ln((m+n)!)=\sum_{k=1}^{m+n}{ln(k)}<=\int_{1}^{m+n}ln(k)dk=(m+n)ln(m+n)-(m+n)+1$$

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Also das was ich jetzt hab:

ln((m+n)!/(n!*m!))= ln((m+n)!)-ln(n!m!)

= ln((m+n)!)-(ln(n!))+ ln(m!))

= ln((m+n)!)-ln(n!)- ln(m!)

=(m+n)ln(m+n)-(m+n)+1 -ln (n!)-ln((m/e)^m), weil m!>= (m/e)^m und der vordere wie oben von dir gezeigt <= gilt wieder =

= (m+n)ln(m+n)-(m+n)+1 -ln (n!)-m*ln((m)+ln(e)

=(m+n)ln(m+n)-(m+n)+1 -ln (n!)-m*ln((m)+1

=m (ln((m+n)/m))+n*ln(m+n) -ln(n!)+2

Und ab hier komm ich nicht mehr weiter. Könnt mir da jemand einen Tipp geben?

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@Sommenblume: Du hast das Ungleichheitszeichen umgedreht und sonst noch was verändert im Vergleich zu https://www.mathelounge.de/555843/umschreiben-logarithmus-abschatzen ?

Du hast gestern bei Werner noch nachgefragt und vor 14 Stunden eine Antwort erhalten. Ist die Frage hier nun erledigt?

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@Lu: ich denke, die Frage von Sonnenblume ist nicht beantwortet. Sie unterscheidet sich von der ähnlichen Frage von vor 3 Tagen (s. meinen Kommentar oben). Ich habe es gestern auch nicht heraus bekommen, wie man es zeigt, dass die Ungleichung richtig ist. Fast man beide Fragen zusammen, so müsste es heißen:

$$m\cdot \ln\left(\frac{m+n}{m}\right)- m \le \ln {\begin{pmatrix} m+n \\ m \end{pmatrix}} ≤ m\cdot \ln\left(\frac{m+n}{m}\right)+m$$

Sonnenblumes aktuelle Frage hier betrifft das rechte 'kleiner gleich'. Der Tipp von Gast_jc2144 könnte helfen (s.o.)

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Ja, den hab ich ja in meinem obigen kommentar venutzt. Nur komm ich nicht weiter(s.o.) und würde mich da freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte:)

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Keiner, der weiterhelfen könnte?

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@Sonnenblume: bis wann brauchst Du die Antwort? Ist das eine Hausaufgabe?

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Generell ist es nur eine Art Vorbereitung für mich selbst. Nur hab ich keine Lösung oder ähnliches und da ich leider nicht weiterkomme, wollt ich eure Hilfe:)

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@Gast jc2144

Hab durch Stöbern im Internet herausgefunden, dass im Integral oben m+n stehen müsste.

Hier der Beitrag dazu:

https://www.mathelounge.de/438349/abschatzung-integral-und-summen

Jetzt wollt ich fragen, kann ich trotzdem deine Anschätzung verwenden kann oder doch das +1 machen mzss

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\(+1\) gehoert da hin. Denn die Ungleichung $$\sum_{k=1}^n\ln k<\int_1^{n+1}\ln x\,dx$$ ergibt sich, wenn man die Summe links als Untersumme für das Integral rechts deutet.