Identität von einem Vektorraum auf einem Intervall mit dem Skalarprodukt herleiten?

Question

Es sei \( V=C^{\circ}([0,2 \pi], \mathbb{R}) \) der Vektorraum der reellwertigen stetigen Funktionen aul dem Intervall \( [0,2 \pi] \) mit dem Skalarprodukt \( \langle f, g\rangle=\int \limits_{0}^{2 \pi} f(x) g(x) d x \)

a) ldentität herleiten

1. \( 2 \sin (n x) \cos (m x)=\sin ((n+m) x)+\sin ((n-m) x) \)
2. \( 2 \sin (n x) \sin (m x)=\cos ((n-m) x)-\cos ((n+m) x) \)
3. \( 2 \cos (n x) \cos (m x)=\cos ((n-m) x)+\cos ((n+m) x) \)

b) Zeigen Sie, dass unter der Veswendung deiser ldentitäten die Menge der Funktionen \( \{1, \sin (x), \cos (x), \sin (2 x) \), \( \cos (2 x), \sin (3 x), \cos (3 x), \ldots\} \) ain Orthogonalsystem in \( V \) ist.

Answer 1

a1) Additionstheorem von sin verwenden:
sin(nx+mx)=sin(nx)*cos(mx)+cos(nx)*sin(mx)
sin(nx-mx)=sin(nx)*cos(mx)-cos(nx)*sin(mx)

Jetzt die beiden Gleichungen addieren, dann steht es da.

zu b) Orthogonalsystem heisst doch, jeder aus diesem System hat mit jedem anderen
aus dem System das Skalarprodukt. Da musst du alle Fälle mal durchgehen, etwa den
< sin(nx) , cos(mx) >  =  
Integral von 0 bis 2pi sin(nx) * cos(mx) dx
mit den gegebenen Formeln ist das
o,5 ( Integral von 0 bis 2pi sin(n+m)x) dx   +   o,5 ( Integral von 0 bis 2pi sin(n-m)x) dx
Das läßt sich leicht integrieren:
= 0,5 * [ -1/(n+m)* cos(n+m)x ] von 0 bis 2pi + 0,5 * [ -1/(n-m)* cos(n-m)x ] von 0 bis 2pi
und wegen cos(k*2pi)=1 ist das
= 0,5*( -1/(n+m) - ( -1/(n+m)) +   0,5* ( -1/(n+m) - ( -1/(n+m))   = 0

 also sind die sin(nx) und cos(mx) schon mal zueinander orthogonal.
ebenso für sin(nx) , sin (mx)  und so fort.