Mit Parameter k nach x auflösen. Nullstellen berechnen: (1-kx)*e-kx + k = 0

Question

Wie kriege die Nullstellen raus?

$f_{k}^{\prime}(x)=0$

$(1-k \cdot x) \cdot e^{-k x+k}=0$

Answer 1

( 1 - k*x )  *  e^irgendwas = 0

Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
Die e-Funktion ist immer positiv und kann nie null werden.
Also
( 1 - k * x ) = 0
z.B. nach x
k * x = 1
x = 1 / k

Comments

Meine Frage bezieht sich auf die blauen k's: warum bleibt k²/k nach dem kürzen k? Und wieso wird -k/k zu 1? Das sind doch beides eigentlich das gleiche? Wieso wird das eine zu k und das andere zu 1?

$\begin{aligned} f_{k}^{\prime \prime}\left(\frac{1}{k}\right) &=\left(-2 k+k^{2} x\right) e^{-k x+k} \\ &=\left(-2 k+k^{2} \frac{1}{k}\right) e^{-k\left(\frac{1}{k}\right)+k} \\ &=\left(-2 k+\textcolor{#00F}{\frac{k^{2}}{k}}\right) e^{ \textcolor{#00F}{-\frac{k}{k}} }+k \\ &=(-2 k+1 k) e^{-1+k} \\ &=-k \cdot e^{-1+k}<0 \end{aligned}$
L) also Hochpunkt

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k² / k = ( k * k ) / k = k  | ein k kürzt sich weg, ein k bleibt übrig

- k * 1 / k = - k / k = -1  | ein k kürzt sich weg, übrig bleibt 1

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Danke:)))) jetzt ist es klar!

Answer 2

1 - kx = 0

1 = kx

1/k = x, falls k ≠ 0.

Das ist nun die Nullstelle der Ableitung.

Der zweite Faktor kann nicht 0 werden.