Funktionenschar fk(x) = (x^2 + kx + k)e^{-x} soll Böschung modellieren.

Question

Eine Böschung lässt sich durch die Funktionenschar \( f_{k}(x)=\left(x^{2}+k x+k\right) e^{-x} \quad \) mit \( 2 \leq k \leq 5 \) und \( x \geq 0 \) modellieren. Dabei wird \( x \) orthogonal zur Straße und \( k \) parallel zur Straße gemessen.

a) Zeichnen Sie für \( 2 \leq k \leq 5 \) und \( x \geq 0 \) die Graphen von \( f_{k} \).

b) Bestimmen Sie für jeweils festes \( k \) die Punkte, in denen der Funktionsgraph von \( \mathrm{f}_{\mathrm{k}} \) am steilsten abfällt. Bestimmen Sie außerdem die zugehörige Ortslinie dieser Punkte.

c) Zeichnen Sie für \( 2 \leq k \leq 5 \) und \( x \geq 0 \) ein Höhenprofil der Böschung.

Answer 1

So richtig verstehe ich die Aufgabe auch nicht.
Wenn du dir in a.) die Funktion(en) aufzeichnest entsteht
so etwas wie eine Böschung oder der Hang einer Skischanze.

Der Wendepunkt dürfte die steilste Stelle sein.
f ( x ) = ( x^2 + k*x + k ) * e^{-x}
f ´ ( x ) = x * e^{-x} * ( k + x - 2)
f ´´ ( x ) = e^{-x} * ( x^2 - 4*x - k + k * x + 2 )
Wendepunkt
x^2 - 4*x - k + k * x + 2 = 0
x = √ ( ( k^2 - 4k + 8 ) / 2 ) - k/2 + 2
( wobei es 2 Wendepunkte gibt. Einer bei x = 0.
Der hier angeführte ist der zweite )

Ich mache mir jetzt erst einmal Abendbrot.
Die ganze Aufgabe ist aber sehr kompliziert.
Ich mache nachher weiter.

Comments

Ok danke aber das mein ansatz genauso ist beruhigt mich schon mal nur habe ich für x einen anderen wert trozt selber zweiten ableitung

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Hast du vielleicht
x = - √ ( ( k² - 4k + 8 ) / 2 ) - k/2 + 2
herausbekommen ?
Das wäre der zweite Wendepunkt.
Meine Ergebnisse wurden von einem Matheprogramm
berechnet.

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Hier einmal eine Skizze

Die blaue Kurve ist die Funktion für k = 2.
Rot für k = 3.

Grün ist die Ortskurve der Wendepunkte.
ort ( x ) = 2 * e^{-x} * ( x^2 + x - 1) / ( x - 1 )

Die Ortskurve könnte stimmen.

Die Aufgabe ist reichlich kompliziert und es gibt unendlich
viel zu rechnen. Ich frage mich ob ich hier etwas falsch
mache ?

Zudem scheint doch die Skizze in a.) und c.)  doch dieselbe zu sein?

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bist du auf den wendepunkt über bestimmte werte für k gekommen oder allgemein weil es doch recht schwer ist es allgemein zu betimmen und kann ich wenn ich für k = 2 und K =3 die wendepunkte habe die ortskurve aus den beiden punkten bestimmen?

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Ich habe ein Matheprogramm benutzt. Die ganze Rechnerei
wäre mir zuviel. Dazu unten mehr.

Wendepunkt
x = √ ( ( k² - 4k + 8 ) / 2 ) - k/2 + 2
Der Wende -Punkt ist abhängig von k.
Die Funktion wird nach k umgestellt.
k = - [ ( x -2 )^2 - 2 ] / ( x - 1 )

Jetzt ersetze ich in f  k durch die Formel
und erhalte
ort ( x ) = 2 * e^-x * ( x² + x - 1) / ( x - 1 )
( Ohne Matheprogramm wohl nur schwer zu schaffen )

Ich gebe ein einfaches Beispiel für eine Ortskurve

Alles nur angenommen
f ( x ) = k * x^3 - k/2 * x
Wendepunkt  ( aus 2.Ableitung = 0 )
x =  k * 2
f ( k * 2 ) = 7 * x^4 * k

W ( k * 2  | 7 * x^4 * k )
aus x = k * 2 wird k = x / 2
und nun k im y wert ersetzt
7 * x^4 * k
7 * x^4 * x /2
ort ( x ) = 7/2 * x^5

Ich hoffe die Aufgabe wird im Unterricht besprochen.
Ich halte die Aufgabe vom Rechenaufwand und der Schwierigkeit
doch für sehr umfangreich und kompliziert.
Außerdem ist mir vieles an der Aufgabenstellung nicht klar.
Vielleicht gibt es ja andere einfachere Lösungen.