Epsilon-Delta-Kriterium für Stetigkeit. Funktion auf Stetigkeit überprüfen.

Question

Funktion auf Stetigkeit überprüfen:

\( g: \Re \rightarrow \Re, \quad x \mapsto|x| \sqrt{|x|} \)

Habe mich an diesem Video orientiert:

und die Funktion für x ≥ 0 und x < 0 betrachtet.

Meine Frage ist nun, ob man das wie folgt machen kann:

1. Fall: x≥0

\( x, y \geqslant 0 \quad \operatorname{mic} y>x \)
\( |f(y)-f(x)|=|y \sqrt{y}-x \sqrt{x}| \)
\( \quad=\sqrt{y^{3}}-\sqrt{x^{3}} \)
\( \sqrt{y^{3}}-\sqrt{x^{3}}<\varepsilon \)
\( \Leftrightarrow \sqrt{y^{3}}<\varepsilon+\sqrt{x^{3}} \)
\( \Leftrightarrow y^{3}<\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{x^{3}}+x^{3} \)
\( \Leftrightarrow y<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{x^{3}}+x^{3}} \)
\( \Leftrightarrow|y-x|<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{x^{3}}+x^{3}}-x=: \delta \)

2. Fall: x<0

\( x, y<0 \) mic \( y>x \)
\( |f(y)-f(x)|=\left|-y^{\sqrt{-y}}-(-x \sqrt{-x})\right| \)
\( =\sqrt{-y^{3}}-\sqrt{-x^{3}} \)
\( \sqrt{-y^{3}}-\sqrt{-x^{3}}<\varepsilon \)
\( \Leftrightarrow \sqrt{-y^{2}}<\varepsilon+\sqrt{-x^{3}} \)
\( \Leftrightarrow-y^{3}<\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}+\left(-x^{3}\right) \)
\( \Leftrightarrow-y<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}-x^{3}} \)
\( \Leftrightarrow-y-(-x)<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}-x^{3}}+x \)
\( \Leftrightarrow-(y-x)<\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}-x^{3}}+x \)
\( \Leftrightarrow \quad|y-x|<-\sqrt[3]{\varepsilon^{2}+2 \varepsilon \sqrt{-x^{3}}-x^{3}}-x = \delta \)

Comments

Ich bin mir unsicher, ob man nicht vielleicht auch sagen kann, dass es reicht die Stetigkeit für

 f(x) = x* Wurzel(x) für x ∈ [0,∞]  zu zeigen,weil diese Funktion ja an der y-Achse gespiegelt wird, wenn man deine Funktion erhalten will.

---

Stimmt, hört sich sinnvoll an und erspart Arbeit.

:)

Answer 1

Hi,
\( |x|\) und \( \sqrt{|x|} \) sind beides stetige Funktionen, also ist auch die Funktion \( g(x)=|x| \cdot \sqrt{|x|} \) stetig.