Vereinfachen Sie artanh ((1 -x^2)/(1 +x^2))

Question

Vereinfachen Sie die Funktion für f(x) = artanh ( (1 -x^2)/(1 +x^2) )

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Areatangens_Hyperbolicus_und_Areakotangens_Hyperbolicus

Setze z.B. mit der ln - Definition im Link statt x den Bruch (1-x^2)/(1+x^2) ein.

Danach kann man  den Doppelbruch ein Stück weit vereinfachen.

Answer 1

$$     \tanh^{-1} \, (z) = \frac 1 2 \ln \frac{1+z}{1-z} $$

$$     \tanh^{-1} \, (x) = \frac 12 \, \ln \, \frac{1+ \frac { 1 -x^2}{1 +x^2}}{1-\frac { 1 -x^2}{1 +x^2}} $$

Rest ist Bruchumstellungen

Comments

$$     \frac{\frac { 1 +x^2}{1 +x^2}+ \frac { 1 -x^2}{1 +x^2}}{\frac { 1 +x^2}{1 +x^2}-\frac { 1 -x^2}{1 +x^2}} $$
$$     \frac{\frac { 1 +x^2+1 -x^2}{1 +x^2}}{\frac { 1 +x^2-(1 -x^2)}{1 +x^2}} $$
$$     \frac{ { 1 +x^2+1 -x^2}}{ { 1 +x^2-(1 -x^2)}} $$
$$     \frac{ { 1+1 +x^2 -x^2}}{ { 1 +x^2-1 +x^2}} $$
$$     \frac{ { 2}}{ { x^2 +x^2}} $$
$$     \frac{ { 2}}{ { 2 \, x^2 }} $$
$$     \frac{ { 1}}{ {  x^2 }} $$

$$ x^{-2}$$

$$\frac12  \ln x^{-2}$$

$$\frac12 \cdot (-2) \cdot \ln x$$

$$- \ln x$$

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Vielen Dank für die Antworten !

Es ergibt sich also z.B. auch, dass der Logarithmus durch Berechnung der artanh-Reihe und der artanh durch Berechnung der Logarithmus-Reihe berechnet werden kann - je nachdem, welche Reihe früher konvergiert, da gilt

ln (1 +x) = x -x^2/2 +x^3/3 -x^4/4 +- ... und |x| < 1

artanh x = x +x^3/3 +x^5/5 +x^7/7 + ... + x^{2n+1}/(2n +1) + ...  mit r = 1