Funktion beliebig oft differenzierbar? f(x):=exp(-1/x^2) , falls x≠0 und f(0):=0.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Funktion

$$ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} {\exp \left(-\frac{1}{x^{2}}\right),} & {\text { falls } x \neq 0} \\ {0,} & {\text { falls } x=0} \end{array}\right. $$

beliebig oft differenzierbar ist.

Answer 1

Das Problem liegt in dem Teil für x ungleich Null.
Hast du da etwas erkannt wie die n-te Ableitung aussieht.
Ich hab mal was rumprobiert, ist mir aber noch nicht ganz klar.

Dann musst du nur noch für x=0 jeweils einzeln betrachten. Bei der 1. Ableitung ist es einfach:

Differenzenquotient bie x=0 ist   (exp(-1/x^2) - 0)  /   ( x- 0)  =    exp(-1/x^2) )  /   x   =   1 / (x * exp(1/x^2) )
also GW=0 und damit  f ' (o) = 0.

Fehlt halt eine Formel für die n-te Abl. für x ungleich 0.

Comments

ok ich mache mal und melde mich

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danke für deine mühe habe es alles selbst jetzt in hinbekommen.

Danke dir

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Prima, Glückwunsch !

Kannst du die gefundene Formel für die Ableitungen nennen ?

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pn ist in diesem Fall ein Polynom

Ist doch richtig so oder?

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stimmt für n=1

danach allerdings nicht mehr

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und wie ist es danach?

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sorry - hab mich geirrt!

Bereits Deine erste Ableitung ist schon falsch

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und wie ist es richtig?

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$$ e^{-\frac{1}{x^2} }$$
$$ e^{\left(-x^{-2} \right)}$$
wie lautet nun die innere Ableitung ?

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die innere Ableitung ist 2/x^3

somi ist die erste Ableitung:

2e^{-1/x^2}/x^3

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korrekt

nun kommts drauf an , dass die beiden Funktionsabschnitte stetig und knickfrei bei x gegen null zusammenlaufen und das ist für alle kommenden Ableitungen zu zeigen.

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ach so ok

danke euch beiden. Ich probiere mal