ist die Funktion differenzierbar und stetig? f(x):= x^2*cos(1/x) für x≠0 und f(0):=0.

Question

hey Leute, unten hab ich die Aufgabenstellung.

Ich hab das probiere mit dem f(x)-f(0)  / x-0 Prinzip und musste den l'hospital anwenden. Aber da kommt raus das es nicht differenzier Bar ist. Das ist aber meiner Meinung nach falsch. Wie kann man das rechnen?

Untersuchen Sie, ob die Funktion
$$ f: \mathbb{R} \longrightarrow R, \quad f(x)=\left\{\begin{array}{ll} {x^{2} \cos \left(\frac{1}{x}\right),} & {x \neq 0} \\ {0,} & {x=0} \end{array}\right. $$
in \( x=0 \) stetig, differenzierbar, stetig differenzierbar oder gar zweimal differenzierbar ist. Plotten Sie (mit dem Werkeug lhrer Wahl) den Graphen von \( f \), sowie- falls vorhanden
- die Graphen der Ableitungstunktionen \( f' \) und \( f'' \). Wählen Sie dafür geeignete Intervalle um Null, um "aussagekräftige" Plots zu erhalten.

Tipp: Jede differenzierbare Funktion ist auch stetig.

Danke für eure Hilfe

Da steht cos(1x)

Answer 1

f(x) = x² • cos(1/x)  für x≠0  ,  f(0) = 0

Wegen  lim_x→0  x²  = 0   und  cos(1/x)  beschränkt  ist  lim_x→0  f(x)  = 0 = f(0). also ist f stetig in x=0 und damit in ℝ.

f '( x) = 2·x·COS(1/x) + SIN(1/x)   für x≠0

lim_x→0 ( [ x² cos(1/x)  - 0 ] /  [ x - 0 ] )  =  lim_x→0 ( x • cos (1/x) ) = 0   

→  f ist in x=0 differenzierbar mit    f ' (0) = 0

Gruß Wolfgang

Comments

Wie kann f'(x) von sin(1/x) für x gegen 0  gleich Null ergeben, wenn 1/x gegen unendlich strebt für x gegen null? Und der Sinus aber periodisch ist?

Danke für deine Antwort

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f ' muss ja nicht stetig sein, lim_x→0 f '(x) = f '(0) =  0 muss also nicht gelten. Ansonsten wäre die Funktion f "stetig differenzierbar".

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Ist die Regel für eine differnzierbare Funktion nicht das f'(0) = 0 ist? Und wieso hast du oben die Ableitung erwähnt, wenn du aber im nächsten Schritt wieder auf die Standardfunktion eingehst um zu zeigen das sie differnzierbar? Muss da nicht mit der Ableitung und somit mit L'hospital gearbeitet werden?

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per Definition ist

f genau dann differenzierbar an der Stelle x=a ∈ D_f , wenn der Grenzwert

lim_x→a \(\frac{f(x) - f(a)}{x - a}\)  existiert und der Grenzwert ist dann gleich f '(a).

und lim_x→0 \(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\) = 0 wurde bestimmt.

Die Ableitung für x≠0 habe ich erwähnt, weil f damit in ganz ℝ differenzierbar ist.

[  Würde  lim_x→0  ( 2x•cos(1/x) + sin(1/x) ) existieren, wäre - wegen der Stetigkeit von f in x=0 - die Differenzierbarkeit in x=0 ebenfalls nachgewiesen. Aber dieser Grenzwert existiert eben nicht, wie du selbst festgestellt hast. Deshalb wurde zum Nachweis die Definition verwendet. ]