Bestimmen Sie die Lösung folgender Gleichung (komplexe Zahlen). z^5 - z^4 +z^2 -z =0

Question

$$ { z }^{ 5 }-{ z }^{ 4 }{ +z }^{ 2 }{ -z }=0\\ Lösung\\ z1=0\\ z2=1\\ z3=0,5(1+\sqrt { 3i } )\\ z4=-1\\ z5=0,5(1-\sqrt { 3i }  $$

Answer 1

z^5 - z^4 +z^2 -z =0

z(z^4 - z^3 + z - 1) = 0

z(z^3(z-1) + 1*(z-1)) =

z(z^3 + 1)(z-1) = 0

z1 = 0

z2 = 1

z3, z4,z5: Lösungen von z^3 = - 1

z3 = -1

z4 = e^{πi/3}

z5 = e^{-πi/3}

z4  und z5 noch von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen.

Answer 2

ja, das kann ich bestätigen.

Grüße

Answer 3

Ich gehe mal davon aus, dass der Fragesteller nicht wissen wollte, ob die Musterlösung korrekt ist, sondern vielmehr, wie man dazu kommen könnte:

$$ z^5−z^4+z^2−z=0 $$
$$ z(z^4−z^3+z−1)=0 $$
woraus folgt, dass z_1=0
$$ z^4−z^3+z−1=0 $$
hier bietet sich "probieren" mit dem absoluten Glied an:
$$ 1^4−1^3+1−1=0 $$

$$z_2 =1$$
und anschliessende Polynomdivision durch den Linearfaktor
$$ (z^4−z^3+z−1)/(x-1)= \cdots $$
um somit schrittweise die höchste Potenz zu reduzieren.

Comments

Ich gehe mal davon aus, dass der Fragesteller nicht wissen wollte, ob die Musterlösung korrekt ist, sondern vielmehr, wie man dazu kommen könnte:

*Hust* Ich auch. Aber ich befürchte der wahre Grund wurde mir viel zu eloquent verpackt. Bei so viel Text kann die wahre Natur der Frage durchaus mal unter den Tisch fallen...