Analysis: Wassermenge in Stausee berechnen. f(t) = t^3 - 24t^2 +144t

Question

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

"Vor starken Regenfällen befinden sich in einem Stausee 2500m^3 Wasser. Die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in den ersten 12 Stunden nach den Regenfällen lässt sich durch die Funktion f mit f(t) = t^3 - 24t^2 +144t beschreiben, wobei t die Zeit in Stunden ist und f(t) die Zuflussgeschwindigkeit in m^3 pro Stunde. "

Aufgabe: 1. Ermitteln Sie die Wassermenge, die in den ersten 6h nach Beginn der Regenfälle in den Stausee geflossen ist sowie die durchschnittliche Zuflussgeschwindigkeit in dieser Zeit (hier habe ich 36m^3/h heraus). 2. Bestimmen sie rechnerisch wie lange es dauert, bis sich 26.536m^3 Wasser im Stausee befinden

Danke schon mal im Voraus :))

Answer 1

1. Du hast eine Geschwindigkeitsfunktion gegeben.Wenn du diese aufleitest, erhältst du die eine Funktion für die Menge. Dann für t=6 setzen und du erhältst die Menge die zufließt. Dein Durchschnitt ist richtig.

2. Du benutzt deine aufgeteleitete Funktion . Diese muss den Wert 26536-2500 = 24036 annehmen . Also setze deine Funktion gleich 24036 und löse dann auf.

Answer 2

Vor starken Regenfällen befinden sich in einem Stausee 2500m³
Wasser. Die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in den ersten 12 Stunden
nach den Regenfällen lässt sich durch die Funktion f mit
f(t) = t³ - 24t² +144t beschreiben, wobei t die Zeit in Stunden ist
und f(t) die Zuflusgeschwindigkeit in m3 pro Stunde. "

Aufgabe: 1. Ermitteln Sie die Wassermenge, die in den ersten 6h nach
Beginn der Regenfälle in den Stausee geflossen ist sowie die
durchschnittliche Zuflussgeschwindigkeit in dieser Zeit (hier habe ich 36m³/h heraus).

f ( t ) = t^3 - 24 * t^2 + 144 * t
∫ f ( t ) dt = t^4 / 4 - 24 * t^3 / 3 + 144 * t^2 / 2
t^4 / 4 - 8 * t^3 + 72 * t^2

[ t^4 / 4 - 8 * t^3 + 72 * t^2 ]₀⁶
6^4 / 4 - 8 * 6^3 + 72 *6^2 - 0
324 - 1728 + 2592
1188 m^3

1188 / 6 = 198 m^3 / h

2. Bestimmen sie rechnerisch wie lange es dauert, bis
sich 26.536m³ Wasser im Stausee befinden

26.536 - 2500 = 24036 m^3 notwendige Zuflussmenge
t^4 / 4 - 8 * t^3 + 72 * t^2 = 24036

Die Gleichung lässt sich eigentlich nur dem z.B. Newton-
Verfahren lösen. Habt Ihr das schon gehabt ?

Nachfrage : bist du dir sicher das die Gleichung stimmt ?

Der Graph der Zuflussgeschwindigkeit sähe so aus 

Answer 3

∫ (0 bis 6) (t^3 - 24·t^2 + 144·t) dt = 1188 m^3

1188/6 = 198 m^3/h

2500 + ∫ (0 bis x) (t^3 - 24·t^2 + 144·t) dt = 26536

2500 + 0.25·x^4 - 8·x^3 + 72·x^2 = 26536

x = 26.32914146

Letzter Teil kann irgendwie nicht hinkommen. Ich sehe aber auch gerade keinen Rechenfehler. Schaust du mal drüber?

Answer 4

Hallo

Eine zumindest überschlagsmäßige Rechnung, die nicht analytisch mit Differential--/Integralrechnung arbeitet, sieht so aus:

Zufluss = Z(t) =  t * f(t) = t^4 -24 t^3 +144 t^2 = (t^2 -12 t)^2

für Punkt 1: Z(t)/t = (6^2 -12*6)^2 / 6 = 204 m^3 / h

für Punkt 2. ergibt sich zum Beispiel:  2500 +Z(t) = 26.536

(t^2 -12 t)^2 = 24036 => t^2 -12t = +/- (24.036)^0.5

 t1,2 = 6 +/- (36 +/- (24036)^0.5)^0.5

t1 = 6 +(36 +(24036)^0.5)^0.5 = 6 +13.82155852 ≈ 19.82 Stunden (19 h 49 min)

(Der mittlere Zufluß Z(t) / t wäre 1213 m^3 / h)

Eigentlich sollte die Zuflussfunktion f(t) aber für die ersten 12 Stunden gelten, und nicht für 20 Stunden nach den Regenfällen. Das würde es zu überprüfen gelten.