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Differentialgleichung erster Ordnung lösen:

\( y^{\prime}=\frac{y}{x} \cdot \left(\frac{y-2 x}{x-2 y}\right) \)

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$$ \frac{dy}{dx}=\frac{y(y-2x)}{x(x-2y)}  $$
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{y^2-2xy}{x^2-2xy}  $$
Substitution und deren Ableitung.
$$ v= \frac yx$$
$$ y= vx$$
$$  \frac{dy}{dx} = x \cdot \frac{dv}{dx} + v $$
Einsetzen:
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{y^2-2xy}{x^2-2xy}  $$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx} + v =\frac{y^2-2xy}{x^2-2xy}  $$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx} + v =\frac{( vx)^2-2x( vx)}{x^2-2x( vx)}  $$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx} + v =\frac{ v^2 \, x^2-2x^2 v}{x^2-2x^2 v}  $$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx} + v =\frac{ x^2(v^2 \, -2v)}{x^2(1-2 v)}  $$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx} + v =\frac{v^2 \, -2v}{1-2 v}  $$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx}  =\frac{v^2 \, -2v}{1-2 v} -v $$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx}  =\frac{v^2 \, -2v}{1-2 v} -v \frac{1-2 v}{1-2 v}$$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx}  =\frac{v^2 \, -2v}{1-2 v} -\frac{v-2 v^2}{1-2 v}$$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx}  =\frac{v^2 \, -2v}{1-2 v} +\frac{2 v^2-v}{1-2 v}$$
$$ x \cdot \frac{dv}{dx}  =\frac{3v^2 \, -3v}{1-2 v} $$
$$ \frac{1-2 v}{3v^2 \, -3v} \, \frac{dv}{dx}  =\frac{1}{x} $$
$$ \frac{1-2 v}{v^2 \, -v} \, \frac{dv}{dx}  =\frac{3}{x} $$
Integration nach dx auf beiden Seiten:
$$\int \,  \frac{1-2 v}{v^2 \, -v} \, \frac{dv}{dx} \,dx  =\int \, \frac{3}{x} \,dx $$
$$\int \,  \frac{1-2 v}{v^2 \, -v} \,  \,dv  =\int \, \frac{3}{x} \,dx $$


von
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Hallo ,

die Substitution

z=y/x

y=z*x

y'= z' x+z führt zum Ziel.

Diese Angaben mußt Du in die Aufgabe einsetzen und lösen.

von 121 k 🚀

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