Berechnen Sie folgende inhomogene Differentialgleichung y'(x)=x^2-y(x)+2

Question

hab nächste woche matheklausur und das thema differentialgleichungen is echt hart.

Ich hab zum beispiel gegeben y'(x)=x^2-y(x)+2 , das is doch eine inhomogene differentialgleichung erster ordnung oder? also berechne ich zuerst die homogene gleichung, mir kommt aber raus C1*e^x+x^3 raus

bin mir ziemlich sicher dass es falsch ist! kann mir jemand helfen bitte?!  

Die anfangsbedingung ist y(0)=5, ich soll es aber zuerst allgemein berechnen.

Answer 1

Die Inhomogenität ist nicht nur die 2, sondern auch das x².

Alles, was nicht vor einer Ableitung von y oder vor y selbst steht, muss für die zugeordnete homogene Gleichung weggelassen werden.

 

Die homogene ist also:
y'(x) = -y(x)

Das gibt:

y(x) = c₁e^-x

Die partikuläre Lösung kannst du z.B. sehr leicht mit dem Ansatz

y_p(x) = ax²+bx+c

finden:

y_p'(x) = 2ax + b

Eingesetzt in die Differentialgleichung:
2ax + b = x² - ax² - bx -c + 2

Nun vergleichst du auf beiden Seiten die Koeffizienten von x², x und 1 und erhältst damit drei Gleichungen für a, b und c:

x²:  0 = 1-a

x: 2a = -b

1: b = -c+2

Man erhält die Lösung: (a, b, c) = (1, -2, 4)

Also als allgemeine Lösung:

y(x) = c₁e^-x + x² - 2x + 4

Für die Anfangsbedingung musst du nun noch c₁ so anpassen, dass y(0)=5 gilt.