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Ich soll eine Differentialgleichung erster Ordnung berechnen, in der vorlesung hab ich geglaubt dass ich es verstehe, aber die angabe auf dem übungszettel verwirrt mich ein bisschen, könnte mir jemand vielleicht helfen?!

Ich soll es einmal allgemein lösen und einmal mit der anfangsbedingung x(0)=-1. Danke!

x(t)` = -5x(t) + 4

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Ich weiß natürlich nicht, wie weit ihr bisher seid und in welche "Kategorie" ihr das einordnet.

Es gibt zwei "fundamentale" Möglichkeiten das zu lösen, ich stelle mal die vor, die ich mir eher vorstellen kann.

 

Es handelt sich um eine lineare inhomogene Differentialgleichung.
Dort löst man zunächst allgemein die zugeordnete homogene Gleichung

x' + 5x = 0

und sucht dann eine beliebige partikuläre (spezielle) Lösung für die inhomogene Gleichung.

 

Wie gesagt, ich weiß nicht, wie weit ihr mit der Theorie schon seid.

Um die homogene Gleichung zu lösen, kann man das charakteristische Polynom aufstellen:
P(λ) = λ + 5

Hat man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms gefunden, dann erhält man ein Fundamentalsystem an Lösungen als

FS: eλt

In diesem Fall gibt es nur eine Lösung, nämlich λ=-5.

Das Fundamentalsystem besteht also nur aus e-5t und die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung lautet

xhom(t) = c1*e-5t

Die inhomogene Lösung kann man hier sehr leicht finden, wenn man den Ansatz

xpart(t) = K

mit K = const. wählt:
dann gilt nämlich

xpart'(t) = 0

Und in die Differentialgleichung eingesetzt:
0 = -5*K + 4

K = 4/5

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet also:
x(t) = c1*e-5t + 4/5

 

Für die Lösung, die auch die Anfangsbedingung erfüllt, muss noch das c1 bestimmt werden, sodass x(0) = -1 gilt:

x(0) = c1*e0 + 4/5 = c1+4/5 = -1

c1 = -9/5

 

Die Lösung lautet also:

x(t) = -9/5 e-5t + 4/5

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