Zeige mit Hilfe des Cauchy Produkts von Reihen:

Question

Sei q ∈ R, |q| < 1. Zeigen Sie:

(∑ q^k)^2 = ∑(n + 1) · q^n. 

Unter dem 1. Summen Zeichen steht k=0, unter dem zweiten steht n=0.

Ich habe leider keine Ahnung wie ich das machen soll, bitte um Hilfe. 

Answer 1

Das Cauchy-Produkt einer geometrischen Reihe mit sich selbst berechnet sich per Definition aus$$\left(\sum_{k=0}^\infty q^k\right)\cdot\left(\sum_{k=0}^\infty q^k\right)=\sum_{k=0}^\infty\sum_{n=0}^k q^n\cdot q^{k-n}=\sum_{k=0}^\infty\sum_{n=0}^k q^k=\sum_{k=0}^\infty(k+1)\cdot q^k.$$