in r3 teilmengen, unterraum angeben

Question

in R³ sind Teilmengen U_a = ⟨ x₁ ∈ℝ³  / x₁  + 2x₂  + 3x₃  = a,a ∈ ℝ⟩ erklärt.                                                                                                                        x₂                                                                                                                                                                                                             x₃

Für welche a ∈ ℝ ist U_a    ein Unterraum von ℝ³  ?

Geben Sie für diese a jeweils eine Basis von U_a   an.

Answer 1

für einen Unterraum muss ja für x aus U und z aus IR auch z*x  aus U sein.
ist x=(x1,x2,x3) aus U so gilt x₁  + 2x₂  + 3x₃  = a
also muss auch zx₁  + 2zx₂  + 3zx₃  = a gelten
aber aus der ersten Gleichung folgt
zx₁  + 2zx₂  + 3zx₃  = z*a
es muss also für alle z aus R   a=za gelten und das geht nur für a=0
Dann ist U die Menge alle x mit  x₁  + 2x₂  + 3x₃  = 0
Da du für die drei Variablen x1 x2 x3 nur eine Gleichung hast, kannst du x2 und x3
frei wählen, etwa x2=s und x3=t dann ist x1 = -2s - 3t
also x =  (    -2s - 3t   ,    s    ,   t)  =     ( -2s  ,   s    ,  0 )  +   (   -3t   ,   0    ,    t  )
=    s*( -2  , 0 ,1 )  +  t* ( -3   ,  0   ,   1  ) 
und weil   ( -2  , 0 ,1 ) und  ( -3   ,  0   ,   1  ) lin. unabbh. sind, bilden sie
eine Basis von U.

Comments

ich glaube, dass ist nicht ganz richtig. U_a sind ja teilmengGEN und es ist nach mehreren a gefragt, für die man jeweils eine Basis finden soll.

einmal muss der 0-Vektor €aus Ua sein, also 0+2*0+3*0=a => a=0  die Basis hierfür ist natürlich B= {(0,0,0)}

dann muss das inverse zu jedem Vektor Element Ua sein, also -x1-2x2-3x3=a  Basis ist B={ (x1,x2,x3) } (da inverse vektroren bezüglich "+" linear abhängig sind)

dann muss der Raum Ua abgeschlossen sein: jeder (x1,x2,x3), (y1,y2,y3) € Ua => (x1+y1,x2+y2,x3+y3)€Ua, also x1+y1+2(x2+y2)+3(x3+y3)=a Basis sind dann { (x1,x2,x3), (y1,y2,y3) } ?? [nicht ganz sicher]

und für alle z€K gilt: z(x1,x2,x3) € Ua =>  zx1+2zx2+3zx3 =a   Basis B= {(x1,x2,x3)}

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einmal muss der 0-Vektor €aus Ua sein, also 0+2*0+3*0=a => a=0

Prima, so kannst du auch argumentieren !

die Basis hierfür ist natürlich B= {(0,0,0)}

das ist Quatsch. Es ist a=0 also musst du Uo bestimmen und das

ist das, was ich angegeben hatte:

Dann ist U die Menge aller Vektoren x=(x1,x2,x3) mit  x₁  + 2x₂  + 3x₃  = 0

Andere Fälle gibt es nicht, denn wenn 0 nicht in Ua liegt, kann es kein Unterraum sein ENDE