Ein Unterraum vom Vektorraum R^n

Question

Aufgabe:

ich habe eine Theoriefrage:

Wie kann ich rechnerisch zeigen, wieso ein Unterraum, der durch den Ursprung geht immer im Raum von R^n ist.

So habe ich es verstanden: Wenn einen Vektor aus dem U, der durch den Ursprung von R^n geht, egal wie multipliziere oder addiere, bleibt er immer im gleichen R^n und seinem Unterraum.

Beispiel einer Matrix:

1 -4 5 | 0

0 0 0 | 0

Problem/Ansatz:

Hier habe ich x1 = 4t - 5s

= x/y/z := (1/0/0) + t(4/1/0) + s(-5/0/1)

Man kann ja eigentlich auch direkt sehen, dass dies ein Unterraum ist, weil wir ein homogenes LGS haben. Jedoch, wie kann ich überprüfen, ob dies durch den Ursprung geht? Einfach als x/y/z die 0 einsetzen? Dann bekomm ich ja einfach x1..

Ich glaube, ich überlege zu weit.

Vielen Dank für alle Antworten!

Answer 1

(1/0/0) + t(4/1/0) + s(-5/0/1)

Das  (1/0/0) ist falsch; denn du hast ja x3=t und x2= s und x1=4t - 5s

also sehen die Lösungen alle so aus

x1   = 4t - 5s 
x2    = s    
x3   = t     oder eben

(x1/x2/x3) = t(4/1/0) + s(-5/0/1)

Comments

Stimmt. Wie übeprüfe ich jetzt aber, obs durch den Ursprung geht? Einfach ein homogenes LGS lösen?

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Brauchst nicht viel zu rechnen, für s=t=0 ergibt

sich der Nullpunkt.