Gleichungen mit mehreren Unbekannten. x1-(y+1)*x3 = -2, y*x2 = y, x1-y*x2 = 2-y

Question

ich habe folgende drei Gleichungen:

x1-(y+1)*x3 = -2

y*x2 = y

x1-y*x2 = 2-y

y ∈ ℝ je nach Wahl von y hat das Gleichungssystem unterschiedliche Lösungen.

Aufgabe:

Ich möchte erfahren, für welche Werte von y das Gleichungssystem lösbar ist.

Könnt ihr mir da einen Tipp geben, wie ich an ein solches Problem rangehe?

Bisher hatte ich immer Gleichungen der Form: 2x1+3x2+4x3... = 2

Das y bei den obigen Gleichungen verwirrt mich etwas.

Comments

Hast du

y*x2 = y

richtig abgeschrieben?

y*x2 = y 

y*x2 - y = 0

y(x2 - 1) = 0

==> y = 0 oder x2 = 1 beide Fälle nun einsetzen in den übrigen Gleichungen und weiter auflösen.

EDIT: Satz"y ∈ ℝ je nach Wahl von y hat das Gleichungssystem unterschiedliche Lösungen." bedeutet, dass du x1, x2 und x3 suchst und y als Parameter in der Lösung stehen darf.

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ja, wurde richtig übernommen. :)

Answer 1

Falls y ≠ 0 (vgl. Kommentar oben) und y≠-1 (vgl. unten).

x1-(y+1)*x3 = -2      (I)

y*x2 = y  ==> x2 = 1       in (III)

x1-y*x2 = 2-y  (II)

---------------------------

x1 - (y+1)*x3 = -2         (I)

x1 - y *1 = 2-y            (III)'       → x1 = 2  in (I)

---------------------------------

2 - (y+1)*x3 = -2

4 = (y+1)*x3      | y ≠ -1

4/(y+1) = x3.

x1 = 2, x2 = 1 und x3 = 4/(y+1)

Fälle y = 0 und y =- 1 noch separat berechnen. und vor Allem: kritisch nachrechnen.

Comments

Ah super. Woher weißt du das y auch noch -1 sein könnte? :)

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Man teilt oben fast am Schluss durch (y+1). Das schliesst y = -1 aus.

Bzw. du musst das noch als separaten Fall abhandeln.

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Achso ≠ -1 meinst du.


Dann könnte doch y die folgenden Werte haben y = ℝ ohne -1

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Nein. Gerechnet habe ich den ersten Fall für y Element R \ {0, -1}.

Du musst noch einen zweiten Fall y = 0 und einen dritten Fall y = -1 rechnen, damit du alles hast, was verlangt ist.

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Achso, um praktisch zu schauen, ob y = -1 bzw. y = 0 auch noch eine Lösung sein könnte?

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Nicht genau formuliert, aber wohl richtig gemeint.

Genau wäre: Man schaut, welche Lösungen das LGS

x1-(y+1)*x3 = -2

y*x2 = y

x1-y*x2 = 2-y

hat, wenn y = 0 und wenn y = -1.

2. Fall y = 0. Löse: 

x1-(0+1)*x3 = -2

0*x2 = 0

x1-0*x2 = 2-0

und

3. Fall y = -1. Löse

x1-(-1+1)*x3 = -2

-1*x2 = -1

x1 +x2 = 2 + 1

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2. Fall

x1 = 2
x2 = λ ∈ ℝ beliebig
x3 = 4

3. Fall y = -1 --> lässt sich nicht lösen

worauf ich wieder auf meinen Kommentar weiter oben komme:

y könnte die folgenden Werte haben y = ℝ ohne -1.

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"y könnte die folgenden Werte haben y = ℝ ohne -1."

ja aber das ist nicht gefragt.

Gefragt sind die Lösungen in Abhängigkeit von y.

Mit Lösungen sind Vektoren (x1, x2, x3) gemeint, die das LGS erfüllen. Und diese hängen von y ab.

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So nachdem ich mich heute nochmal mit der Aufgabe beschäftigt habe, bin ich zu folgendem Lösungsraum in Abhängigkeit von y gekommen:

x1 = 2, x2 = 1, x3 = 4/(y+1) wobei y ∈ ℝ \ -1

Kannst du mir das so Bestätigen? Habe leider keine Vergleichslösung vorliegen.

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ok. wenn du dasselbe raushast, wie ich, könnte das ja stimmen.

1. Falls y ≠ 0 (vgl. Kommentar oben) und y≠-1 (vgl. unten).

x1 = 2, x2 = 1 und x3 = 4/(y+1)          

wobei y ∈ ℝ \ {-1 , 0}.

Wie oben erwähnt: 

2. Fälle y = 0 und y =- 1 noch separat berechnen. 

Du musst ja für alle y Lösungen präsentieren. Deshalb diese beiden Fälle auch noch nach  x1, x2, x3 auflösen.