Bestimmen Sie jeweils sämtliche x ∈ Z, die die Kongruenz erfuellen. Geben Sie die Lösungsmenge an.

Question

(a) 5x + 2 ≡ 3x + 4 (mod 7)

(b) (4x + 1)2 + 2 ≡ 3 (mod 6)

Vorgehensweise?

Answer 1

entweder du probierst alle Möglichkeiten durch oder aber du machst es systematisch wie ihr es in der Vorlesung/Übung eigentlich besprochen haben müsstet.

1. Forme die Gleichung um auf die Form: \( ax = b \mod n\)

2. Überprüfe: \(ggT(a,n) = 1 \)? Wenn ja dann existiert die Lösung: \(x = a^{-1}b \mod n \)

Wenn nein: Dann schaue \(ggT(a,n) | b\)? Wenn nein gibt es keine Lösung, wenn ja dann teile \(a,b\) und \(n\) durch \(ggT(a,n)\) und du hast die Gleichung der Form: \( a'x = b' \mod n'\), wobei \(ggT(a',n') =1\).

Gruß

Answer 2

Vorgehensweise zu a): Alles nach links bringen, faktorisieren und kürzen. Ergebnis:
$$ \left\{x \in \mathbb{Z} \,\left|\, 7 \text{ teilt } \left(x-1\right)\right. \right\} $$