Analytische Geometrie: Untersuchung einer Ebenenschar E: (a - 1)·x + (4 - 2·a)·y + z = a + 1

Question

sitze wieder an einer Hausaufgabe und weiß so recht nicht weiter...

Gegeben sei die Ebenenschar    E: (a - 1)x + (4 - 2a)y + z = a + 1

a) Gehört die Ebene F:4x - 4y +2z = 8 zur Schar E?

b) Welche Ebene der Schar enthält den Koordinatenursprung?

c)Welche Ebene der Schar E sind parallel zu einer Koordinatenachse?

d) Zu Welcher Ebene der Schar E verläuft die Gerade g : x = (1/2/0) + r(1/1/1) parallel?

e) Welche Ebene der Schar ist orthogonal zur Ursprungsgerade h : x = r (-4/4/-2) ?

Also bei a weiß ich, dass ich F und E gleichsetzen muss oder? Aber wie macht man das richtig? Und bei den rest ehrlich gesagt keine Ahnung... Vielleicht bei b mit 0 gleichsetzen oder so? :-/

Answer 1

a) Gehört die Ebene F:4x - 4y +2z = 8 zur Schar E?

(a - 1)·x + (4 - 2·a)·y + z = a + 1
(3 - 1)·x + (4 - 2·3)·y + z = 3 + 1
2·x - 2·y + z = 4
4·x - 4·y + 2·z = 8 --> Ja. Die Ebene gehört dazu.

b) Welche Ebene der Schar enthält den Koordinatenursprung?

(a - 1)·x + (4 - 2·a)·y + z = a + 1
(a - 1)·0 + (4 - 2·a)·0 + 0 = a + 1
a = -1

c) Welche Ebenen der Schar E sind parallel zu einer Koordinatenachse?

(a - 1)·x + (4 - 2·a)·y + z = a + 1

a = 1 ist parallel zur x-Achse
a = 2 ist parallel zur y-Achse

d) Zu Welcher Ebene der Schar E verläuft die Gerade g : x = (1/2/0) + r(1/1/1) parallel?

[a - 1, 4 - 2·a, 1]·[1, 1, 1] = 0
4 - a = 0
a = 4

e) Welche Ebene der Schar ist orthogonal zur Ursprungsgerade h : x = r (-4/4/-2) ?

[a - 1, 4 - 2·a, 1] = k·[-4, 4, -2]
a = 3 ∧ k = - 1/2