Vollständige Induktion Summe von (2n-1) von 1 bis n = n^2:

Question

ich beschäftige mich zur Zeit (aus Interesse) mit der vollständigen Induktion.

Die Behauptung: Summe von (2n-1) von 1 bis n = n².

1. Schritt: Nehmen wir an die kleinste Zahl ist 1:

(2*1-1) = 1² ---> 1 = 1
Für die kleinste Zahl stimmt also die Behauptung. Also: A(n₁).

2. Schritt: Zeigen, dass A(n+1) gilt.
Frage: Muss ich für jedes n nun n+1 einsetzen, oder muss ich n+1 einfach nur dazu addieren?

Ich gehe mal davon aus, dass man n+1 dazu addieren muss, dann folgt:
(2n-1) + (n + 1) = n² + (n+1)
3n = n² + n + 1

Ab hier weis ich nicht mehr weiter, denn wenn ich jetzt die zwei einsetze, erhalte ich
6 = 7 und das ist doch falsch?

Woher erkenne ich, dass die Behauptung stimmt?

Comments

Ich gehe mal davon aus, dass man n+1 dazu addieren muss

Das ist leider falsch, da du für jedes n nun n+1 einsetzen musst.

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Dann folgt:

(2(n + 1)-1) = (n + 1)²

(2n + 1) = n² + 2n +1

Somit ist die Behauptung falsch?

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Du musst auch bei deiner Summennotation für die obere Grenze n mit n+1 ersetzen. Dann würde ich die Summer wieder so umformen, dass ich von i=1 bis n zähle. Ich habe mich bis jetzt auch nur aus Interesse mit Induktion beschäftigt, also ich kenne mich da auch nicht so gut aus. Aber das was ich dir sage stimmt definitiv ;)

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Mhmmmm.... komme irgendwie auf keine richtigen Ergebnisse - .-

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Hi,

Du musst einfach genau dasselbe rechnen und dann 2 * (n+1 ) - 1 = 2n + 1  dazu addieren, sprich n^2 (=A(n)) + 2n+1

Jetzt rechne mal (n+1)^2 aus ...... ;)

Answer 1

Hier nochmal die Lösung:

I.A.: (Siehe bei dir, alles richtig)

I.S.: \( \sum_{k=1}^{n+1} 2k-1 = \left( \sum_{k=1}^n 2k-1 \right) \quad + 2(n+1) -1 = n^2 + 2n+1 = (n+1)^2 \)

Somit haben wir, davon ausgehend, dass A(n) stimmt, gezeigt, dass A(n+1) stimmt! Alles klar, melde dich bei Fragen ;).

Comments

War gerade was essen! Vielen Dank für die Antwort, ich versuche es jetzt noch einmal nachzuvollziehen :-)

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Kannst du mir eventuell die einzelnen Schritte von I.S. erläutern? Also was du wie gemacht hast?

Ich komme einfach nicht drauf :-(

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Nochmal von vorne...

Ansatz: A(n+1).

(2n - 1) = n²                                 | Einsetzen von n+1

(2(n+1) -1) + n + 1 = (n+1)²

3n + 2 = n² + 2n +1

Auch falsch... aaaah - .-

Ich verstehe das mit dem Summenzeichen und dem k auch nicht so richtig.

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Hm, erstmal tut mir Leid wegen der oagen Abwesenheit, habe viel zu tuen...

Das Summenzeichen können wir auch weglassen, ich mache es mal:

Ziel: Wir gehen davon aus, dass A(n) richtig ist (wichtig!!), und beweisen, dass dann auch A(n+1) richtig ist. Anders formuliert: Wenn A(n) richtig ist, ist es A(n+1) ebenso. Das zu beweisen ist der Sinn / das Ziel des I.S. 

(2*1 - 1) + (2*2 - 1) + ... + (2*n - 1) = n^2     Das ist A(n).

(2*1  - 1 ) + (2*2 - 1) + ... +(2*n - 1) + (2*(n+1) - 1) = (n+1)^2.   ist A(n+1)

A(n) + (2*(n+1)  - 1) = A(n+1)    Klar soweit?

A(n) + 2n +1 = A(n+1)    

n^2 + 2n +1 = A(n+1) ( = (n+1)^2 )

Klar ? Also prinzipiell?

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Kein Problem, das kenne ich :)

Ja habe es endlich verstanden! Viele Dank :)

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Na dann ist ja gutFreut mich ;)

(Es laggt bei mir sehr wenn ich einen Text eingebe, deshalb einige Schreibfehler.. )