Beweis zu Linearen Abbildungen und Matrizen

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) ein Körper und

\( A=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \in M(2 \times 2 ; K) \)

Zeigen Sie:

a) Es ist \( A \in \mathrm{GL}(2 ; K) \) genau dann, wenn \( \delta:=a d-b c \neq 0 \).

b) In diesem Fall gilt

\( A^{-1}=\delta^{-1}\left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right) \)

Answer 1

diese Aufgabe kann man zum Beispiel lösen, in dem man mit dem Gauß die Inverse Matrix bestimmt. Dabei wirst du sehen, dass in den Komponenten \(\delta\) im Nenner auftritt. Jetzt noch ein bisschen argumentieren und du bist fertig. Die b) hast du damit quasi auch schon gezeigt (ein bisschen umformen fehlt). Hier kannst du aber auch einfach verwenden, dass \(A\cdot A^{-1} = E \) ergeben muss.

Gruß