Zeigen Sie: |x ⊕ y| < c. Abelsche Gruppe, Gruppenisomorphismus

Question

Aufgabe:

Es sei $c>0$ und $I=(-c, c)$ das offene Intervall mit den Grenzen $-c$ und c. Für $x, y \in I$ setzen wir

$x \oplus y:=\frac{x+y}{1+\frac{x y}{c^{2}}}$

Zeigen Sie:

a) $|x \oplus y|<c$

b) $(I, \oplus)$ ist eine abelsche Gruppe.

c) Durch $\varphi(x):=c \tanh (x)$ wird ein Gruppenisomorphismus $\varphi:(\mathbb{R},+) \rightarrow(I, \oplus)$ definiert.

Wenn $c$ die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet, ist $\oplus$ das Additionsgesetz der speziellen ReIativitätstheorie für Geschwindigkeiten (in derselben Richtung).

Answer 1

Zu a): (einfach einsetzen und abschätzen)

$|x\oplus y|=\left|\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^{2}}}\right|=\frac{|x+y|}{|1+\frac{xy}{c^{2}}|}\geq\frac{|x|+|y|}{1+|\frac{xy}{c^{2}}|}<\frac{c+c}{1+\frac{|x|\cdot|y|}{c^{2}}}<\frac{2c}{1+\frac{c^{2}}{c^{2}}}=c$

Denn da $x, y\in (-c, c)$ gilt $|x|<c, |y|<c$ und es gilt die Dreiecksungleichung des reellen Betrags.

Zu b): (wir haben Abgeschlossenheit schon in a) gezeigt)

Nach Konstruktion ist $0\in (-c, c)$ und es gilt $x\oplus 0=\frac{x+0}{1+0}=x$ für alle $x\in (-c, c)$, also haben wir ein neutrales Element.

Ebenfalls nach Konstruktion ist für $x\in (-c, c)$ auch $-x\in (-c, c)$ und es gilt offensichtlich $x\oplus(-x)=0$ für alle $x\in (-c, c)$, also haben wir auch für alle $x$ ein Inverses.

Auch die Kommutativität ist sofort klar, da $x+y=y+x$ und $xy=yx$.

Zu c):

Da der tanh nur Werte in (-1, 1) liefert ist $\varphi$ wohldefiniert, es bleibt nur die Verträglichkeit mit $\oplus$ zu zeigen. Seien dazu $a, b\in (-c, c)$, dann gilt (Additionstheorem des tanh)

$\varphi(x+y)=c\tanh(x+y)=c\frac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}=\frac{c\tanh(x)+c\tanh(y)}{1+\frac{c\tanh(x)c\tanh(y)}{c^{2}}}=c\tanh(x)\oplus c\tanh(y)=\varphi(x)\oplus \varphi(y)$

Answer 2

bei a) ist zu zeigen, dass

$\left| \frac{x+y}{1+ \frac{xy}{c^2}} \right| < c$ bzw. $\left| \frac{\frac{x}{c}+\frac{y}{c}}{1+ \frac{xy}{c^2}} \right| < 1$

ist. Dies ist äquivalent zu

$\left| \frac{x}{c}+\frac{y}{c} \right| < \left| 1+ \frac{xy}{c^2} \right|$.

Quadrierung und die Abkürzungen $a = \frac{x}{c} < 1$, $b = \frac{y}{c} < 1$ liefern

$(a + b)^2 < (1 + ab)^2$ bzw. $a^2 + 2ab + b^2 < 1 + 2ab + a^2b^2$.

Letzteres vereinfacht sich zu

$a^2(1 - b^2) < 1 - b^2$.

Da $b^2 < 1$ ist, ist $1 - b^2 > 0$ und die Ungleichung lässt sich durch diesen Ausdruck teilen, sodass

$a^2 < 1$

entsteht, eine wahre Aussage.

Bei b) müssen die Gruppeneigenschaften und die Kommutativität gezeigt werden. Letztere ist trivial, es ist leicht zu sehen, dass $\frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} = \frac{y+x}{1+\frac{yx}{c^2}}$ gilt.

Das neutrale Element ist $e = 0$, wie leicht anhand von $\frac{x+0}{1+\frac{x \cdot 0}{c^2}} = x$ zu sehen ist.

Das Inverse eines Elementes $x$ ist $-x$, wie man anhand von $\frac{x+(-x)}{1+\frac{x(-x)}{c^2}} = 0$ erkennt.

Wegen a) ist die Gruppe abgeschlossen unter der angegebenen Gruppenoperation.

Aufgabe c) entspricht der Anwendung des Additionstheorems für den Tangens Hyperbolicus, siehe auch  https://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_Hyperbolicus_und_Kotangens_Hyp… .

Es ist $\varphi(u + v) = c \tanh(u+v) = c \frac{\tanh(u) + \tanh(v)}{1+\tanh(u)\tanh(v)}$.

Mit der Substitution $x = c \tanh(u)$ und $y = c \tanh(v)$ ergibt sich

$\varphi(u+v) = \dots = \frac{x+y}{1+\frac{xy}{c^2}} = x \oplus y$

oder mit $u$ und $v$ geschrieben, also ohne Substitution,

$\varphi(u+v) = c \tanh(u) \oplus c \tanh(v) = \varphi(u) \oplus \varphi(v)$.

Damit ist $\varphi$ ein Homomorphismus. Da der Tangens Hyperbolicus umkehrbar ist, ist $x = c \tanh(u)$ eine eineindeutige Zuordnung. Folglich ist $\varphi$ ein Isomorphismus.

Der Vollständigkeit wegen sei gesagt, dass der Wertebereich von $\varphi$ mit $I$ übereinstimmt.

Mister