Orthogonale Abbildung von R2 mit Standardskalarprodukt. b = (-5; 3)

Question

Aufgabe:

Wir betrachten den euklidischen Vektorraum $\mathbb{R}^{2}$ mit dem Standardskalarprodukt

$<\vec{x}, \vec{y}>:=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}$

und die Matrix-Abbildung

$\begin{aligned} A: & \mathbb{R}^{2} & \rightarrow \mathbb{R}^{2} \\ &\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] & \longrightarrow A\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \quad \operatorname{mit} \quad A=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right] \end{aligned}$

Sei

$\vec{b}=\left[\begin{array}{c} -5 \\ 3 \end{array}\right]$

Berechnen Sie die Koeffizienten $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22} \in \mathbb{R}$, sodass

1. der erste Spaltenvektor der Matrix $A$ die Länge 1 hat und in dieselbe Richtung zeigt wie $\vec{b}$ und

2. die Matrix-Abbildung $A$ orthogonal ist.

(Rechnen Sie mit den exakten Werten, d.h. verwenden Sie beispielsweise für die Wurzel der Zahl 2 den Ausdruck $\sqrt{2}$ und nicht einen gerundeten Wert wie z.B. 1.41)

Answer 1

Hi, Bin auch in LinA an der TU

deine Lösung ist:

erste Spalte:

-5 / sqr(34)

3 / sqr(34)

die zweite spalte :

3 / sqr(34)

5 / sqr(34)

Erklärung willst du sicher nicht ^^

Man sieht sich... 13

Comments

Wie sähe das ganze aus, wenn Vektor b = {-2, 3}?

Answer 2

Da die Länge von b = wurzel(34) ist, ist die Matrix   A =

-5/wurzel(34)       a12

3 / wurzel(34)      a22

und da sie orthogonal sein soll muss A * A^t = E gelten, also
a₁₂^2+25/34                   a₁₂*a₂₂-15/34                               1                  0
a₁₂*a₂₂-15/34               a₂₂²  + 9/34                    =              0                   1

also a₁₂=3/wurzel(34) und a₂₂= 5 / wurzel(34)