Zeigen Sie, dass jede funktion f: X→ℝ in α stetig ist.

Question

Sei (X,d) ein metrischer Raum und a element X ein isolierter Punkt X, d.h. es gibt ein δ größer 0, so dass B(a,δ)=⟨a⟩ ist. Zeigen Sie, dass jede funktion f: X→ℝ in α stetig ist.

Keine Ahnung wie ich das angehen soll, ich

Answer 1

Da musst du mal zur Stetigkeitsdef. zurück.

War die vielleicht so:
f stetig in a genau dann, wenn gilt:
  Für alle ε>0 gibt es ein δ>o so dass für alle x aus B(a,δ) folgt f(x) aus B(f(a),ε) .

sei nun a der isolierte Punkt  und von X und f eine Funktion von X nach IR.
dann gibt es nach Def. des isolierten Punktes ein δ größer 0, so dass B(a,δ)=⟨a⟩

also gilt für alle x aus B(a,δ)  x=a also auch f(x) = f(a) und damit ist
f(a) in jeder Umgebung B(f(a),ε) .    q.e.d.