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Ich soll bei den Funktionen von x/sinx und sinx/arcsinx Taylorreihen entwickeln. Bei der ersten Taylorreihe soll ich die ersten drei Glieder berechnen und bei der zweiten Funktion das Taylorpolynom T_2(x)

Beide haben übrigens den Entwicklungspunkt x_0= 0. Kann man bei diesen Funktionen auch n-te Taylorreihe finden? Und wenn, wie geht das? Wie findet man bei diesen Funktionen eine Gesetzmäßigkeit zur n-ten Ableitung?

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Du entwickelst die Taylorreihe natürlich wie üblich mit den Ableitungen der Funktionen.

1.) f(x) = x/sin(x)

f'(x) = (sin(x) - xcos(x))/sin²(x)

f''(x) = (cos(x) - cos(x) + x*sin(x))/sin²(x) - 2cos(x)*(sin(x)-x cos(x))/sin³(x)

= x*sin²(x)/sin³(x) - 2cos(x)sin(x)/sin³(x) + 2x cos²(x)/sin³(x)

= x/sin(x) - 2cos(x)/sin²(x) + 2x cos²(x)/sin³(x)

Um nun die entsprechenden Koeffizienten zu bestimmen, muss jeweils der Grenzwert für x->0 bestimmt werden. Das schafft man mit dem Satz von l'Hospital:

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sin x } = 1 $$

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x - x \cos x } { \sin ^ { 2 } x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos x - \cos x + x \sin x } { 2 \sin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { 2 } = 0 $$

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ^ { \prime \prime } ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x \sin ^ { 2 } x - 2 \cos x \sin x + 2 x \cos ^ { 2 } x } { \sin ^ { 3 } x } $$

$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin ^ { 2 } x + 2 x \sin x \cos x + 2 \sin ^ { 2 } x - 2 \cos ^ { 2 } x + 2 \cos ^ { 2 } x - 4 x \cos x \sin x } { 3 \sin ^ { 2 } x \cos x } $$

$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 3 \sin x - 2 x \cos x } { 3 \sin x \cos x } $$

$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 } { \cos x } - \frac { 2 x } { 3 \sin x } \right) = 1 - \frac { 2 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 } $$


Damit erhält man die Taylorentwicklung:

f(x) = f(0) + f'(0)*x + f''(0)/2! * x^2 + O(x^3)

(Das o(x^3) bedeutet, dass höhere Korrekturterme der Ordnung x^3 vernachlässigt werden.)

f(x) = 1 + x^2/6 + O(x^3)

2.) f(x) = sin(x)/arcsin(x)

f'(x) = cos(x)/arcsin(x) - sin(x)/(√(1-x^2) arcsin²(x))

Hierbei habe ich (arcsin(x))' = 1/√(1-x^2) verwendet.

Für die Grenzwerte gegen 0 muss wieder der Satz von l'Hospital verwendet werden.

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin x } { \arcsin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \cos x = 1 $$

$$ \lim _ { x \rightarrow 0 } f ^ { \prime } ( x ) = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \cos x \arcsin x - \frac { \sin x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } { \arcsin ^ { 2 } x } $$

$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { - \sin x \arcsin x + \frac { \cos x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } - \frac { \cos x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { x \sin x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } ^ { 3 } } } { \frac { 2 \arcsin x } { \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } } } $$

$$ = \lim _ { x \rightarrow 0 } \left( \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } \sin x + \frac { 1 } { 4 \left( 1 - x ^ { 2 } \right) } \frac { x \sin x } { \arcsin x } \right) = 0 $$

Beim zweiten Grenzwert nutze ich im letzten Schritt insbesondere noch aus, dass wir den Grenzwert von sin(x)/arcsin(x) bereits kennen.

Die Berechnung der zweiten Ableitung ist sehr zeitaufwändig. Ich glaube auch nicht, dass es eine leichte Variante gibt. Es gilt auf jeden Fall

limx→0 f''(x) = -2/3

Damit lautet das Taylorpolynom zweiten Grades:

T2(x) = 1 - x^2/3

Es ist bei diesen Funktionen nicht möglich, elementare Ausdrücke für die n-ten Ableitungen anzugeben. So ist es übrigens bei den meisten Funktionen, die wenigstens lassen sich explizit ausrechnen.

von 10 k

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