N-te Ableitung von ln (1+x/2)

Question

Also mir ist zunächst klar, dass ich hierfür ca die ersten vier Ableitungen bilden muss, also:

f (x )= ln (1+2/x)

f'(x) = 1/2*(x/2+1)

f''(x) = - 1/2*(x/2+1)^2

f'''(x) = 2/2*(x/2+1)^3

f"" (x) -6* (1/2*(x/2+1)^4)

Wie zur Hölle finde ich da jetzt ein System? :D okay also ich hab die Lösung von unserem Tutor in der Uni bekommen und die schaut so aus:

f^n(x)= 1/2^n * ((-1)^n+1)/((1+x/2)^n) * (n-1)! 

Wie man auf die((1+x/2)^n)  unter dem Bruchstücke kommt sehe ich ja, auch die -1 etc ist noch verständlich für mich weil die Vorzeichen  ja alternieren .  Aber wie komme ich auf den Rest ? Und gibt es eventuell tricks, wie man auf die n-te Ableitung kommt ?

Comments

Du solltest deine Ableitungen überprüfen. Für die im Titel angegebene Funktion gilt$$f'(x)=\frac12\cdot\frac1{1+\frac12x}.$$

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Die Abletungen sind falsch. Einer Folge von Funktionstermen (hier Ableitungen) sollte man ihr Bildungsgesetz ansehen.

Answer 1

f(x) = LN(1 + x/2)

f1(x) = 1/(x + 2)

f2(x) = - 1/(x + 2)^2

f3(x) = 2/(x + 2)^3

f4(x) = - 6/(x + 2)^4

f5(x) = 24/(x + 2)^5

Naja. Ich denke wir wissen wie das weiter geht.

fn(x) = (-1)^{n - 1}·(n - 1)! / (x + 2)^n