Spiegelung der euklidischen Ebene an einer Ursprungsgeraden

Question

Aufgabe:

Diese Aufgabe beschäftigt sich mit der Spiegelung der Euklidischen Ebene an einer Ursprungsgeraden.

a) Geben Sie eine Ursprungsgerade an, die mit der \( x_{1} \)-Achse einen Winkel von \( \frac{5 \pi}{6} \), d.h. \( 150^{\circ} \), einschließt.

b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix A der Spiegelung an der Ursprungsgeraden aus Teilaufgabe a).

Answer 1

Geradengleichung einer Ursprungsgerade, die mit x1 den Winkel alpha bildet ist

Allgemein: y = tan(alpha)*x
hier also g:   y = - √(3) / 3  *  x

b) Du brauchst die Bilder von A(1/0) und B(o/1) bei der Spiegelung.

Lot l1 von A auf g hat die Steigung m=√(3)    ( wegen m1*m2=-1 bei senkrechten Geraden)
und geht durch A. Also wird aus der Geradengleichung:

        y = m*x + n

        0 = √(3) * 1 + n also n = - √(3)

l1:           y = √(3)* x - √(3)
l1 ∩ g:       √(3)* x - √(3) = - √(3) / 3  *  x    | : √(3)
                                       x   -   1    =   -1/3 * x
                                     4/3 * x    =    1
                                              x =   3/4     und y =   - √(3) / 3  * (3/4) =    - √(3)  /  4

Also ist der SP(3/4; -√(3)/4)

und damit ist der Spiegelpunkt von A (1/0) der Punkt, den man erhält, wenn man bei A das doppelte vom Vektor AS dranhängt, das gibt ( 1/2   ;   -√(3)/2 ) .

Also ist von der Matrix der Spiegelung die 1. Spalte bekannt:

 1/2       ?
-√(3)/2    ?

Und die anderen beiden "?" bestimmst du durch den Bildpunkt von B(0/1).

Da bekomme ich (  -√(3)/2   ;  -1/2   ) heraus. Also

Matrix
1/2          -√(3)/2
-√(3)/2     -1/2