Tangentialebene im Punkt P bestimmen mit Fläche

Question

ich werde aus folgender Aufgabe einfach nicht schlau:

Geg:

Fläche F: x² + 1/8 y² + z² = 1

a) Nun soll die Tangentialebene e im Punkt P₀(x₀, y₀, z₀) von F berechnet werden.

b) Wie muss P₀ im 1.Oktant gewählt werden, damit die Summe der Achsenabschnitte von e möglichst klein ist.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

Gru

Answer 1

so bekommt man zumindest etwas kunstlos die Steigungen hin und zusammen mit dem Po gibt es eine Ebenengleichung:

$$ x^2 + \frac{y^2}{8} + z^2 = 1 $$
$$  z^2 = 1-( x^2 + \frac{y^2}{8}) $$
$$ z^2 = 1- x^2 - \frac{y^2}{8} $$
$$ z= \sqrt{1-x^2 -\frac{y^2}{8}} $$
$$\frac {\partial z}{\partial x}(x,y)= \frac12 \frac1{\sqrt{1-x^2 -\frac{y^2}{8}}} \cdot -2x $$
$$\frac {\partial z}{\partial x}(x,y)= - \frac x{\sqrt{1-x^2 -\frac{y^2}{8}}} $$
$$\frac {\partial z}{\partial y}(x,y)= \frac12 \frac1{\sqrt{1-x^2 -\frac{y^2}{8}}} \cdot -\frac {2y}{8} $$
$$\frac {\partial z}{\partial y}(x,y)= - \frac y{8\sqrt{1-x^2 -\frac{y^2}{8}}}  $$