Ermittlung: Gleichung der Tangentialebene an Fläche

Question

Aufgabe:

Ermittlung der Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z = f(x,y) im Punkt P0(0,0).

$$f(x,y)= e^x*cos(xy)$$

Problem/Ansatz:

Bräuchte bitte dringend Unterstützung.

Lg Erwin!!

Answer 1

Aloha :)

$$z(x;y)=f(0;0)+\operatorname{grad}f(0;0)\cdot\left[\binom{x}{y}-\binom{0}{0}\right]$$$$z(x;y)=1+\binom{e^x(\cos(xy)-y\sin(xy))}{-e^xx\sin(xy)}_{(x;y)=(0;0)}\cdot\binom{x}{y}$$$$z(x;y)=1+\binom{1}{0}\cdot\binom{x}{y}$$$$z(x;y)=1+x$$

Comments

! Wie kommt man auf "-e^x+sin(xy)"?

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Das ist kein \(+\), sondern ein \(x\). Du musst dazu die Funktion partiell nach \(y\) ableiten, das heißt du behandelst \(x\) wie ein Konstante:

$$\frac{\partial f}{\partial y}=\underbrace{e^x}_{=\text{const}}\cdot\underbrace{(-\sin(xy)\,)}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{x}_{=\text{innere Abl.}}=-e^x\cdot x\cdot\sin(xy)$$

Answer 2

Hallo,

im zweidimensionalen Fall findet man durch \(t(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\) die Tangente an den Graphen von \(f\) in \(x_0\). Im dreidimensionalen:$$\begin{aligned} z&=\operatorname{grad}f(0,1)^T\cdot \begin{pmatrix} x-0\\y-1\end{pmatrix}+f(0,1) \\ &=x+1\end{aligned}$$