Vandermonde Determinanten Berechnung?

Question

3. Aufgabe: Seien $x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{C} .$ Zeigen Sie, dass die Determinante der Matrix
$$\left(\begin{array}{cccc} {1+x_{1}} & {1+x_{1}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{1}^{n}} \\ {1+x_{2}} & {1+x_{2}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{2}^{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {1+x_{n}} & {1+x_{n}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{n}^{n}} \end{array}\right)$$
gleich
$$\prod \limits_{1\leq i<j \leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right)\left(2 x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}-\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{n}-1\right)\right)$$
ist.

Anleitung:
a) Erweitern Sie die Matrix zunächst durch eine Zeile, die nur aus den Einträgen 0 besteht und danach durch eine Spalte, die in der hinzugefügten Zeile eine 1 und sonst eine 0 als Eintrag hat, sodass sich die Determinante der Matrix nicht ändert.

b) Führen Sie dann geeignete Zeilen-und Spaltenoperationen durch, die die Determinante nicht ändern.

c) Verwenden Sie die Formel, die Sie zur Berechnung der Vandermonde-Determiante kennen.

wie kann ich das berechnen?

über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar :)

Answer 1

schau Dir diesen Link mal an, da ist alles bewiesen auf Seite 9, Kap. 3.3

http://wwwopt.mathematik.tu-darmstadt.de/~bokowski/pdf/determinante.…

Comments

Tolle Antwort :D