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3. Aufgabe: Seien x1,,xnC. x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{C} . Zeigen Sie, dass die Determinante der Matrix
(1+x11+x121+x1n1+x21+x221+x2n1+xn1+xn21+xnn) \left(\begin{array}{cccc} {1+x_{1}} & {1+x_{1}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{1}^{n}} \\ {1+x_{2}} & {1+x_{2}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{2}^{n}} \\ {\vdots} & {} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {1+x_{n}} & {1+x_{n}^{2}} & {\cdots} & {1+x_{n}^{n}} \end{array}\right)
gleich
1i<jn(xjxi)(2x1xn(x11)(x21)(xn1)) \prod \limits_{1\leq i<j \leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right)\left(2 x_{1} \cdot \ldots \cdot x_{n}-\left(x_{1}-1\right)\left(x_{2}-1\right) \cdot \ldots \cdot\left(x_{n}-1\right)\right)
ist.

Anleitung:
a) Erweitern Sie die Matrix zunächst durch eine Zeile, die nur aus den Einträgen 0 besteht und danach durch eine Spalte, die in der hinzugefügten Zeile eine 1 und sonst eine 0 als Eintrag hat, sodass sich die Determinante der Matrix nicht ändert.

b) Führen Sie dann geeignete Zeilen-und Spaltenoperationen durch, die die Determinante nicht ändern.

c) Verwenden Sie die Formel, die Sie zur Berechnung der Vandermonde-Determiante kennen.


wie kann ich das berechnen?

über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar :)

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schau Dir diesen Link mal an, da ist alles bewiesen auf Seite 9, Kap. 3.3

http://wwwopt.mathematik.tu-darmstadt.de/~bokowski/pdf/determinante.…

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Tolle Antwort :D

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Gefragt 6 Okt 2020 von Gast