Steckbriefaufgabe: Ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei x=0 ein Extremum und bei x=-1 einen Stattelpunkt.

Question

Die Aufgabe ist bestimmen sie die Gleichung der Funktion mit den beschriebenen Eigenschaften.

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei x=0 ein Extremum und bei x=-1 einen Stattelpunkt. Die Tangente bei x=1 hat die Gleichung f(x)= 48x-48. Wie lautet die Funktionsgleichung?

könnt ihr mal die Bedinungen aufstellen und die gleichungen dürfen wir in der Schule mit dem einem Taschrechnermodus ausrechnen um die unbekannten zu finden. Aber wer möchte kann dies auch ohne taschenrechner machen also mit einem Gleichungssystem. Danke und Kussi im Voraus :)

Comments

Die Frage gab es gestern oder so schon einmal und wurde ausführlich besprochen.

Answer 1

Hi :)

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades 

=> f(x) = ax⁴ +bx³+cx²+dx+e

besitzt bei x=0 ein Extrenum 

=> f'(0) = 0

=> e = 0

und bei x=-1 einen Stattelpunkt. 

=> f''(0) = -1

=> f'(0) = -1

Die Tangente bei x=1 hat die Gleichung f(x)= 48x-48. 

=> da habe ich gerade keine Ahnung sorry...

Answer 2

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades besitzt bei $x=0$ ein Extremum und bei $x=-1$ einen Sattelpunkt. Die Tangente bei $x=1$ hat die Gleichung $f(x)= 48x-48$. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Der Berührpunkt der Tangente ist B$(1|48\cdot1-48=0)$

$x=-1$ ist ein Sattelpunkt

Ich verschiebe den Sattelpunkt so, dass er auf der x-Achse liegt: Dreifachnullstelle

$f(x)=a(x+1)^3(x-N)$

Tangentensteigung in B ist $m=48$

$f'(x)=a[3(x+1)^2(x-N)+(x+1)^3]$

$f'(1)=a[3(1+1)^2(1-N)+(1+1)^3]=a[12(1-N)+8]=48$

$a=\frac{48}{12(1-N)+8}=\frac{48}{20-12N}$

$f(x)=\frac{12}{5-3N}[(x+1)^3(x-N)]$

bei $x=0$ ein Extremum:

$f'(0)=\frac{12}{5-3N}[3(0+1)^2(0-N)+(0+1)^3]=0$

$N=\frac{1}{3}$    $a=3$

$f(x)=3(x+1)^3(x-\frac{1}{3})$

Es soll B$(1|0)$ gelten:

$f(1)=3(1+1)^3(1-\frac{1}{3})=16$

Also muss der Graph von $f(x)$ um 16 Einheiten nach unten verschoben werden

$p(x)=3(x+1)^3(x-\frac{1}{3})-16$