Primitive Periode und Symmetrie

Question

liebe Leute,

ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:

Untersuche die folgende Funktion auf Symmetrie und Periodizität:

$$ f(x)=3cos(2x)+2sin(3x) $$

Hier mein Lösungsansatz:

Spiegelsymmetrie:

$$ f(-x)=3cos(-2x)+2sin(-3x)=3cos(2x)+2sin(-3x)\neq f(x) $$ also keine Spiegelsymmetrie zur y-Achse

Punktsymmetrie:

$$ -f(x)=-3cos(2x)-2sin(3x)\neq f(-x) $$

also auch keine Punktsymmetrie

Periodizität:

Die Faktoren 3 und 2 vor dem Cosinus bzw. Sinus sind für Periodizität doch irrelevant, weil sie die Funktion lediglich in y-Richtung strecken, richtig?

Die primitive Periode von cos(2x) müsste ja Pi und vom sin(3x) 2Pi/3 sein. Wie bestimme ich nun die primitive Periode aus der Gesamtfunktion? Nach meinen Aufzeichnungen müsste ich nun eigentlich nur das kleinste gemeinsame Vielfache von 1 und 2/3 bestimmen. Das erscheint mir aber nicht richtig, denn da würde ja 2/3 herauskommen, sprich 2/3*Pi als primitive Periode. Habe die Funktion aber mal geplottet und da sieht es mir eher nach 2Pi als primitive Periode der gesamten Funktion aus.

Vielleicht kann mich ja mal jemand erleuchten.

Answer 1

Den ersten Teil halte ich für richtig, aber beim 2. Teil muss doch für das erste x>0, bei dem
die gleichen Werte wie bei x=0 auftreten gelten
2x=n*2pi und 3x=k*2pi
also
x = n*pi und x= 2/3 k*pi damit das für  ganzzahlige n und k geht muss 2/3 k = n
also 2k = 3n also im kleinsten Fall k=3 und n=2 also
folgt aus x = n*pi hier x=2pi und aus  x= 2/3 k*pi  hier auch x= 2pi.

Comments

Das konnte ich soweit nachvollziehen. Vielen Dank schon mal! Ich bin mir allerdings nicht sicher, in wie weit ich das bei komplizierteren Aufgaben angewendet bekomme. Zum Beispiel:

3cos(4x)+2sin(6x)+4cos(0,8x)

Hier wäre dann ja:

4x=n*2pi    und 6x=k*2pi     und 0,8x=u*2pi

=> x=1/2 n*pi   und x= 1/3 k*pi  und x= 5/2 u*pi

Wie würde ich hier nun weitermachen?