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Ich habe bei folgender Aufagbe eine Frage:  Ιx-2I + Ix+3I = 5


Ich habe jetzt 4 Bedingungen und 4 Fälle aufgestellt.

Wie handhabe ich es wenn ich als Ergebnis 0=0 raus bekomme, normalerwiese ist das doch kein Ergebnis für x, da ja kein x mehr vorhanden ist, oder irre ich mich da?


Für die oben stehende Aufgabe habe ich als Lösung raus bekommen L = (2)

Habe ich hier richtig gerechnet?


Gruß

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4 Antworten

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" wenn ich als Ergebnis 0=0 raus bekomme"

ist die Allgemeingültigkeit der Gleichung bewiesen. Das bedeutet alle x in dem definierten Intervall wären Elemente der Lösungsmenge

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$$  |x-2| + |x+3| = 5  $$
Fall I: $$x\ge2 \land x\ge -3$$
$$ ( x-2) + (x+3) = 5  $$
$$  2x+1 = 5  $$
$$  x = 2  $$
Fall II: $$x\lt2 \land x\lt -3$$
$$  -(x-2) - (x+3) = 5  $$
$$  -x+2 - x-3 = 5  $$
$$  -2x-1 = 5  $$
$$  -2x = 6  $$
$$  x = -3  $$
Fall III: $$x\lt2 \land x\ge -3$$
$$  -(x-2) + (x+3) = 5  $$
$$  -x+2 + x+3 = 5  $$
$$  +2+3 = 5  $$
$$\mathbb{L}=x\lt2 \land x\ge -3$$
Fall IV: $$x\ge2 \land x\lt -3$$
für diese Bedingung ist die Definitionsmenge leer
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ABS(x - 2) + ABS(x + 3) = 5

Die richtige Lösung sollte sein

-3 ≤ x ≤ 2

Eigentlich musst du auch nur 3 Fälle unterscheiden.

x <= -3 oder -3 <= x <= 2 oder x >= 2

Avatar von 482 k 🚀
Wieso muss ich nur 3 Fälle unterscheiden wenn ich 2 in Beträgen stehende Gleichungen habe?

Gruß

Weil sich die Fälle doch teilweise überlappen.

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Und so sieht das grafisch aus

Bild Mathematik

Avatar von 39 k


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Weg über das Quadrieren:

\(|x-2| + |x+3| = 5 \red{|^{2} }  \)

\(x^2-4x+4+ x^2+6x+9+2 \cdot |x-2| \cdot |x+3|= 25    \)

\(2x^2+2x+2 \cdot |x-2| \cdot |x+3|=12  \)

\(x^2+x+ |x^2+x-6|=6   \)

\( |x^2+x-6|=6-x^2-x \red{|^{2} } \)

\( (x^2+x-6)^2=(6-x^2-x)^2  \)

\( (x^2+x-6)^2-(6-x^2-x)^2=0  \)    3.Binom:

\( [(x^2+x-6)-(6-x^2-x)][(x^2+x-6)+(6-x^2-x)]=0  \)

\( [x^2+x-6-6+x^2+x)][0]=0  \)

\( x^2+x-6=0 \)

\( x_1=-3 \)

\( x_2=2 \)

Probe, weil Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist:

1.)  \( |-3-2| + |-3+3| = 5  \)

2.)  \( |2-2| + |2+3| = 5 \)

Unbenannt.JPG

Laut Zeichnung ist die Lösung:

\(-3≤x≤2\)

Wie kommt man nun per Rechnung auf die Werte zwischen \(x=-3  \)   und \(x=2  \)?


Avatar vor von 37 k

Nach dem ersten Quadrieren (das eine Äquivalenzumformung ist) erhält man:

\(x^2+x-6=|x^2+x-6|\)

Das ist äquivalent zu \(x^2+x-6\ge 0\) was leicht mit Faktorisierung zum richtigen Ergebnis führt.

Nach dem zweiten Quadrieren (das keine Äquivalenzumformung ist) erhält man eine Gleichung, die für alle \(x\in \R\) erfüllt ist, also nichts gewonnen.

Quadrieren hat den Nachteil. dass es keine Äquivalenzumformung ist.


Nullstellen der Beträge: x= 2, x= -3

1.Fall: x< -3

-x+2-x-3 = 5

2x = -6

x= -3 (entfällt ´, nicht in D)


2. -3<=x<2

-x+3+x+3 = 5

6= 5 (falsch)


3. x>=2

x-2+x+3 = 5

2x = 4

x= 2

L = {2}

@ggT22 Deine Lösung ist falsch, was Du nach Lesen der anderen Antworten wissen könntest.

Danke, ich habe bei 2. einen unbemerkten Tippfehler. Es muss lauten: -x+2 +x+3 = 5

5= 5 (immer wahr)

Damit gehört das gesamte Intervall zur Lösung.

L= [-3;]

Kleine Ursache, große Wirkung.

Man sollte immer wolfram zur Kontrolle benutzen, wenn die Konzentration nicht mehr die beste ist.

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7Cx-2%7C%2B%7Cx%2B3%7C%3D5

Danke für die erklärenden Kommentare!

@ggT22 Nein, man sollte vor allem die vorherigen Antworten lesen und dann überlegen, ob was man was neues zu beizutragen hat oder nur eine andere Antwort abschreibt. Und wenn die Konzentration nicht die beste ist, warum dann überhaupt antworten?

Konzentration nicht die beste ist, warum dann überhaupt antworten?

Um sie zu trainieren. Ist das verboten oder für dich inakzeptabel?

Ich wollte nur den Weg ohne Quadrieren ausführlich darstellen, was vor mir keiner so getan hat.

Und aus Fehler kann man lernen, auch wenn es nur Schreibfehler sind.

Zudem haben einige eine große, z.T. auch hämische Freude daran, Fehler aufzuspüren.

Natürlich, es geht nur um Dich selbst. Du darfst gerne die Lösung für Dich selbst aufschreiben, aber hier ist doch das Ziel jemandem zu helfen, ich meine jemand anderen zu helfen, nicht zur Selbsttherapie. Es gibt auch andere Methoden die Konzentration zu schulen ohne dabei andere zu verwirren oder belästigen.
Der Weg ohne Quadrieren steht in der ersten Antwort.

Aber nicht der Richtige.

.

Es gibt auch andere Methoden die Konzentration zu schulen ohne dabei andere zu verwirren oder belästigen.

Ein Tippfehler ist, weil vom genauen Leser erkennbar, mMn nicht verwirrend, sondern sollte zur Richtigstellung, am besten mit konkreter Benennung.

Und belästigen kann ein an sonsten richtiger Weg kaum, außer man ist Pendant und regt sich über alles und jedes auf spürbar nicht wohlwollende Art. Damit meine ich nicht dich, auch wenn auch du meine Bemühungen hier nicht schätzt und mich wohl lieber loswärst als lästigen, sehr kritischen Laien, der gern über den Tellerrand hinausblickt und Probleme anspricht, die in der heutigen Zeit niemanden unberührt lassen sollten.

Wenn ich dabei übers Ziel hinausschieße, mag das manchen stören. Aber ich tue es nie in böser Absicht, sondern eher um die oft extreme Trockenheit mancher Thread etwas zu befeuchten. Für mich, ich betone für mich, ist Mathe auch in einigen Bereichen eine sehr trockene Materie, weswegen ich das Fach nie studieren könnte,was aber bei Gott nicht heißen soll, dass ich die Sinnhaftigkeit bestreite. Mir ist sie halt zu trocken wie dir sicher auch vieles auf anderen Gebieten.

Es gilt:

a) De gustibus non est disputandum

b) Suum cuique

c) immer so freundlich wie möglich bleiben, was leider auch mir nicht immer gelingt

Ich wünsche allen, die Mathe professionell betreiben nie endende Freude und Genuss an der Sache, ohne die man auf Dauer nicht durchhält.

Und bewundere Menschen, die sich so intensiv damit auseinandersetzen, dass man manchmal den Eindruck hat, sie gehen ganz in ihrem Fach auf - leider auch ein wenig unter, weil sie es zu verabsolutieren scheinen nach dem Motto:

Nihil verum ultra mathematicam!

Aber glaube mir: Das wirkliche Wichtige liegt ULTRA.

Wie sagte dazu Wittgenstein:

Auch wenn alles, was wir wünschen, geschähe, so wäre dies doch nur, sozusagen, eine Gnade des Schicksals, denn es ist kein logischer Zusammenhang zwischen Willen und Welt, der dies verbürgte, und den angenommenen physikalischen Zusammenhang konnten wir doch nicht selbst wieder wollen.

Der Sinn der Welt muß außerhalb ihrer liegen. In der Welt ist alles wie es ist und geschieht alles wie es geschieht; es gibt in ihr keinen Wert - und wenn es ihn gäbe, so hätte er keinen Wert.
Wenn es einen Wert gibt, der Wert hat, so muß er außerhalb alles Geschehens und So-Seins liegen. Denn alles Geschehen und So-Sein ist zufällig.
Was es nicht-zufällig macht, kann nicht in der Welt liegen; denn sonst wäre dies wieder zufällig.
Es muß außerhalb der Welt liegen.

Die theologische Variante findest du im 1. Korintherbrief, Kapitel 13.

Du siehst, was man alles aus einer Betragsgleichung machen kann, wenn man ganz weit und für dich vlt. belästigend und störend über den Tellerand hinausblickt.

Auch Mathe ist für mich nur interessant im Rahmen des Weltganzen, der großen Strukturen, die zu beschreiben sie einen sehr wichtigen, aber nicht den einzigen Beitrag liefert. Auf die Sinnfrage hat auch sie keine Antwort und kann sie nicht haben,wie der große Wittgenstein richtig feststellt. Mathe lässt Sinn und Gesetzmäßigkeit, zwingende Logik u.v. m. erkennen und verweist an ihren Grenzen über sich hinaus, sie ist so gesehen transzendent.

Doch nun lieber Schluss. Ich weiß, die meisten Mathematiker mögen über sowas nicht gerne reden, weil mit viel Unlogik behaftet und in Bereiche verweisend, die sich jeder Logik entziehen.

Wenn du schon einmal richtig verliebt warst oder vlt. gerade bist, weißt du sicher, was ich meine: Amantes amentes und so.

Schönen Restnachmittag und danke nochmal für den Fehlerhinweis. Bei Ähnlichem bitte das nächste Mal mit konkreter Benennung. Es war zwar falsch, was rauskam,aber nicht total falsch wegen des kleines Zahlenfehlers.

Wenn es Dir hilft, derartige Texte zu schreiben, mach es. Ich lese die schon lange nicht mehr.

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