Betragsgleichung lösen, Fallunterscheidung

Question

Ich habe bei folgender Aufagbe eine Frage:  Ιx-2I + Ix+3I = 5

Ich habe jetzt 4 Bedingungen und 4 Fälle aufgestellt.

Wie handhabe ich es wenn ich als Ergebnis 0=0 raus bekomme, normalerwiese ist das doch kein Ergebnis für x, da ja kein x mehr vorhanden ist, oder irre ich mich da?

Für die oben stehende Aufgabe habe ich als Lösung raus bekommen L = (2)

Habe ich hier richtig gerechnet?

Gruß

Answer 1

" wenn ich als Ergebnis 0=0 raus bekomme"

ist die Allgemeingültigkeit der Gleichung bewiesen. Das bedeutet alle x in dem definierten Intervall wären Elemente der Lösungsmenge

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$$  |x-2| + |x+3| = 5  $$
Fall I: $$x\ge2 \land x\ge -3$$
$$ ( x-2) + (x+3) = 5  $$
$$  2x+1 = 5  $$
$$  x = 2  $$
Fall II: $$x\lt2 \land x\lt -3$$
$$  -(x-2) - (x+3) = 5  $$
$$  -x+2 - x-3 = 5  $$
$$  -2x-1 = 5  $$
$$  -2x = 6  $$
$$  x = -3  $$
Fall III: $$x\lt2 \land x\ge -3$$
$$  -(x-2) + (x+3) = 5  $$
$$  -x+2 + x+3 = 5  $$
$$  +2+3 = 5  $$
$$\mathbb{L}=x\lt2 \land x\ge -3$$
Fall IV: $$x\ge2 \land x\lt -3$$
für diese Bedingung ist die Definitionsmenge leer

Answer 2

ABS(x - 2) + ABS(x + 3) = 5

Die richtige Lösung sollte sein

-3 ≤ x ≤ 2

Eigentlich musst du auch nur 3 Fälle unterscheiden.

x <= -3 oder -3 <= x <= 2 oder x >= 2

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Wieso muss ich nur 3 Fälle unterscheiden wenn ich 2 in Beträgen stehende Gleichungen habe?

Gruß

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Weil sich die Fälle doch teilweise überlappen.

Answer 3

Und so sieht das grafisch aus

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